{"id":2620,"date":"2013-06-20T15:00:56","date_gmt":"2013-06-20T13:00:56","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2620"},"modified":"2022-10-11T12:39:24","modified_gmt":"2022-10-11T10:39:24","slug":"permutazioni-alla-maturita-2013","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/06\/20\/permutazioni-alla-maturita-2013\/","title":{"rendered":"Permutazioni alla maturit\u00e0 2013"},"content":{"rendered":"

Anche quest’anno \u00e8 arrivato il testo della prova scritta di matematica<\/a> per l’Esame di Stato (la maturit\u00e0, per i vecchietti come me) e anche quest’anno ci sono stati i soliti mugugni. Lascio ad altri siti specializzati la soluzione di tutto il compito, e mi limito a parlare di uno dei quesiti del questionario, che a mio parere era piuttosto interessante. Il testo:<\/p>\n

‌Con le cifre da 1 a 7 \u00e8 possibile formare 7! = 5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual \u00e8 il numero che occupa la settima posizione e quale quello che occupa la 721-esima posizione? <\/p><\/blockquote>\n

Spero che nessuno si sia messo a fare una lista dei primi 721 elementi per trovare la soluzione…<\/p>\n

Il punto di partenza per iniziare a risolvere il problema \u00e8 scritto esplicitamente nel testo. Con le cifre da 1 a k<\/i> \u00e8 possibile formare k<\/i>! numeri di k<\/i> cifre tutte distinte. La funzione fattoriale, il “!”, cresce molto velocemente: ma almeno per i primi numeri la si riesce a calcolare anche a mano.<\/p>\n

     n     n!
\n     1      1
\n     2      2
\n     3      6
\n     4     24
\n     5    120
\n     6    720
\n     7   5040<\/tt><\/p>\n

Guardando la tabella, dovreste accorgervi ad occhio che i numeri 7 e 721 sono quasi presenti; per la precisione ci sono 6 e 720. Quindi i primi sei numeri nel listone per ordine crescente saranno quelli che tengono ferme le prime quattro cifre 1234 e fanno girare le altre tre, e il settimo sar\u00e0 il primo che inizia per 1235, cio\u00e8 1235467; allo stesso modo i primi 720 numeri saranno quelli che fanno girare le ultime sei cifre, e il 721-simo sar\u00e0 il pi\u00f9 piccolo numero che inizia per 2, vale a dire 2134567. Notate che i conti che ho dovuto fare sono solo le moltiplicazioni per trovare i fattoriali (in realt\u00e0 quei valori io li conosco a memoria, ma non posso pretendere troppo). Naturalmente una delle prime cose che ti insegnano quando risolvi i problemi matematici \u00e8 provare a vedere cosa succede con valori semplici: in questo caso uno avrebbe dovuto provare le permutazioni di 1, 2, 3… cifre, e avere un’idea di quello che succede.<\/p>\n

Se non ho capito male, nell’indirizzo sperimentale sono stati un po’ pi\u00f9 cattivi e hanno chiesto il 5016-simo valore della lista. Un solutore sveglio si sarebbe dovuto subito accorgere che 5016=5040−24; un solutore attento avrebbe capito allora che bastava trovare il venticinquesimo<\/b> (non il ventiquattresimo, a causa dell’errore della staccionata; se non ci credete, provate a pensare al 5040-simo elemento…) valore in ordine decrescente<\/b>, e ricavare subito 7645321.<\/p>\n

In definitiva, questo quesito era risolvibile con molta facilit\u00e0 per chi \u00e8 abituato a giocare con la matematica; purtroppo temo che questo non faccia parte del piano di studi di molte scuole, il che \u00e8 un peccato perch\u00e9 almeno a mio parere il quesito era proprio bello.<\/p>\n

Post scriptum<\/b>: Roberto<\/a> mi fa notare come nell’indirizzo sperimentale-informatico il quesito<\/a> chiedeva quali fossero gli elementi in posizione 1441 e 5036 (Non 5016). Il primo non \u00e8 molto difficile: 1440 = 2·720, quindi si fanno passare le 720 permutazioni che iniziano per 1 e le 720 che iniziano per 2, e si arriva a 3124567. L’elemento in posizione 5036 \u00e8 il quinto in ordine decrescente; il sistema pi\u00f9 facile per trovare che \u00e8 7654132 \u00e8 per\u00f2 scrivere<\/b> i primi elementi, il che mi sembra una cattiveria gratuita e soprattutto serva solo a far perdere la fiducia nella bellezza della matematica. Non trovate?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un quesito della maturit\u00e0 2013 era facile… per chi \u00e8 bravo a fare il giocoliere.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2620","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Gg","jetpack-related-posts":[{"id":1503,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/07\/10\/numeri-felici\/","url_meta":{"origin":2620,"position":0},"title":"Numeri felici","author":".mau.","date":"10\/07\/2019","format":false,"excerpt":"una categoria di numeri con propriet\u00e0 facili da studiare... ma non troppo.","rel":"","context":"In \"didattica della matematica\"","block_context":{"text":"didattica della matematica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/didattica-della-matematica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/07\/happynumbers.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":770,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2016\/05\/09\/ausilii-per-le-moltiplicazioni\/","url_meta":{"origin":2620,"position":1},"title":"Ausilii per le moltiplicazioni","author":".mau.","date":"09\/05\/2016","format":false,"excerpt":"Come si facevano le moltiplicazioni senza le calcolatrici? A mano. Ma esistevano degli strumenti appositi per semplificare la vita.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"bastoncini di Nepero (da https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/File:Bones_of_Napier_%28board_and_rods%29.png )","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2016\/05\/Bones_of_Napier_board_and_rods-300x277.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":568,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/06\/01\/numeri-narcisisti\/","url_meta":{"origin":2620,"position":2},"title":"Numeri narcisisti","author":".mau.","date":"01\/06\/2015","format":false,"excerpt":"Una categoria di numeri autocelebrativi","rel":"","context":"In \"numeri\"","block_context":{"text":"numeri","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/numeri\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":1499,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/06\/27\/recensione-matematica-per-giovani-menti\/","url_meta":{"origin":2620,"position":3},"title":"Recensione: Matematica per giovani menti","author":".mau.","date":"27\/06\/2019","format":false,"excerpt":"Settantacinque problemi matematici e logici pensati per chi la matematica se la trova davanti pi\u00f9 di quanto vorrebbe.","rel":"","context":"In \"libri\"","block_context":{"text":"libri","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/libri\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/06\/9788822068842.jpg?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2446,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/10\/21\/numeri-altamente-composti\/","url_meta":{"origin":2620,"position":4},"title":"Numeri altamente composti","author":".mau.","date":"21\/10\/2011","format":false,"excerpt":"Basta con le divisioni che non terminano mai! O almeno cerchiamo di ridurle al minimo indispensabile. E come? Con i numeri altamente composti...","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2422,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/07\/12\/6174-196-e-altri-numeri\/","url_meta":{"origin":2620,"position":5},"title":"6174, 196 e altri numeri","author":".mau.","date":"12\/07\/2011","format":false,"excerpt":"Alcuni numeri sono pi\u00f9 interessanti di altri, almeno per chi ama cercare le loro propriet\u00e0 strane.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2620","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2620"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2620\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2621,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2620\/revisions\/2621"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2620"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2620"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2620"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}