{"id":2618,"date":"2013-06-18T14:02:23","date_gmt":"2013-06-18T12:02:23","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2618"},"modified":"2022-10-11T12:44:12","modified_gmt":"2022-10-11T10:44:12","slug":"quando-conviene-fermarsi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/06\/18\/quando-conviene-fermarsi\/","title":{"rendered":"Quando conviene fermarsi?"},"content":{"rendered":"

Il problema che vi presento oggi \u00e8 tratto da Mind Your Decisions<\/a>, l’ottimo blog di Presh Talwalkar. Ma bando ai convenevoli: eccovi il testo del problema.<\/p>\n

Avete vinto la tombola di Natale al Circolo dei Matematici, e ora dovete ritirare il vostro premio. Ma la cosa non \u00e8 cos\u00ec semplice! Il valore del premio non \u00e8 infatti prefissato, ma \u00e8 pari a tanti euro quanto \u00e8 il valore uscito da un D100 (un dado a cento facce numerate dall’1 al 100: credo che all’atto pratico si lancino due dadi icosaedrici e il punteggio \u00e8 da 0 a 99, ma dovreste chiederlo agli amanti di D&D). Ma c’\u00e8 un ma: se il punteggio ottenuto non vi piace, potete pagare un euro e lanciare nuovamente il dado (quante volte volete: a ogni nuovo lancio pagate un euro). Qual \u00e8 il vostro guadagno atteso?<\/em><\/p>\n

Se votete lanciare nuovamente il dado, il risultato ottenuto \u00e8 naturalmente perso. Inoltre di per s\u00e9 potete continuare all’infinito, sapendo che alla fine il vostro “guadagno” sar\u00e0 in realt\u00e0 una perdita. Secondo voi qual \u00e8 la vostra strategia migliore? <\/p>\n

Se si decide “o la va o la spacca” e si stabilisce a priori che si far\u00e0 un solo lancio, il valore atteso \u00e8 50,5. Ma sembra stupido fermarsi se il risultato del lancio \u00e8 stato 10: la probabilit\u00e0 che al lancio successivo si ottenga almeno 12 \u00e8 molto alta. Visto che ogni lancio ha la stessa distribuzione di probabilit\u00e0 e che i valori precedenti sono persi, ne consegue (“per banali ragioni matematiche”) che conviene scegliere a priori una soglia e fermarsi quando il lancio del dado supera questa soglia. Ma come fare a calcolare la soglia?<\/p>\n

Facciamo un esempio semplice, prendendo come soglia 50. Al primo lancio, i casi sono due: otteniamo almeno 50, smettiamo di giocare e siamo felici e contenti, oppure otteniamo al massimo 49, scuciamo il nostro euro, e ritentiamo. Ma il gioco \u00e8 senza memoria, quindi il valore atteso al secondo lancio \u00e8 esattamente quello iniziale meno 1 (il costo necessario per lanciare di nuovo il dado). In formule, se la nostra strategia S<\/i>(n<\/i>) \u00e8 “fermati se hai almeno n<\/i>” e il valore atteso \u00e8 per definizione E[S<\/i>(n<\/i>)] (nel senso che E[] indica il valore atteso), abbiamo la formula <\/p>\n

 E[S<\/i>(n<\/i>)] = P(lancio ≥ n<\/i>)E[lancio ≥ n<\/i>] + (1−P(lancio ≥ n<\/i>))·(E[S<\/i>(n<\/i>)]−1)<\/p><\/blockquote>\n

A partire da qui \u00e8 relativamente facile fare i conti. Sappiamo infatti che P(lancio ≥ n<\/i>) = (101 − n<\/i>)\/100) perch\u00e9 ci sono tutti i valori da n<\/i> a 100; inoltre E[lancio ≥ n<\/i>] \u00e8 (100 + n<\/i>)\/2 perch\u00e9 dobbiamo mediare su tutti i valori ammissibili. Con un po’ di semplici passaggi algebrici si ottiene una formula esplicita<\/p>\n

 E[S<\/i>(n<\/i>)] = 51 + 0.5 n<\/i> − 100\/(101 − n<\/i>)<\/p><\/blockquote>\n

i cui valori per n<\/i> che va da 50 a 100 sono mostrati nella tabella qui sotto (sempre rubata da Presh):<\/p>\n

\"valore<\/a>
valore atteso per il gioco “lancia un dado da 100”<\/figcaption><\/figure>\n

Sembra incredibile, ma la strategia migliore \u00e8 quella di non fermarsi finch\u00e9 non si ottiene almeno un 87, il che d\u00e0 un valore atteso di 87,357 euro circa. Da l\u00ec in poi il valore atteso scende, per\u00f2 ancora con n<\/i> = 97 si ha un valore atteso di 74,5, maggiore di quello che si ha se ci si ferma non appena si raggiunge almeno 50! Poi il crollo in effetti \u00e8 repentino, anche se sembra incredibile ma comunque il valore atteso se aspettiamo di ottenere 100 \u00e8 positivo: in media si vince ancora un eurino. \u00c8 per\u00f2 interessante notare come la strategia di attesa paghi, e che il valore atteso per le strategie tra 80 e 90 non \u00e8 poi cos\u00ec diverso (la differenza \u00e8 minore di un euro).<\/p>\n

Naturalmente in tutti questi conti non \u00e8 stato considerato il fatto che, almeno in linea teorica, chi gioca a questo gioco pu\u00f2 rischiare di perdere<\/b> soldi se il valore soglia non esce: un po’ come chi si ostina a giocare al lotto i numeri ritardatari. Qui c’\u00e8 il vantaggio che non si pu\u00f2 incrementare la puntata di base, quindi la bancarotta arriva dopo; inoltre le probabilit\u00e0 in gioco sono molto basse, visto che per esempio ci sono 0,2 casi per milione<\/b> di lanciare il dado 100 volte senza ottenere mai almeno 87. Per\u00f2 \u00e8 sempre bene conoscere queste clausole in corpo 5: i matematici sono delle brutte bestie…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un problemino con una risposta non cos\u00ec banale come sembrerebbe a prima vista<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2618","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Ge","jetpack-related-posts":[{"id":196,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/11\/06\/dadi-equi\/","url_meta":{"origin":2618,"position":0},"title":"Dadi equi","author":".mau.","date":"06\/11\/2013","format":false,"excerpt":"C'\u00e8 una cosa che non ho mai capito: perch\u00e9 per decidere quale dei due giocatori deve iniziare a giocare a Monopoli, Risiko o simili entrambi lancino un dado, e chi ottiene il risultato pi\u00f9 alto vince. 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