{"id":2614,"date":"2013-06-03T11:29:06","date_gmt":"2013-06-03T09:29:06","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2614"},"modified":"2022-10-11T12:36:48","modified_gmt":"2022-10-11T10:36:48","slug":"matematica-per-analogie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/06\/03\/matematica-per-analogie\/","title":{"rendered":"Matematica per analogie"},"content":{"rendered":"

La scorsa settimana Douglas Hofstadter<\/a> era a Bologna, a ricevere una laurea honoris causa in “Progettazione e gestione didattica dell\u2019e-learning e della media education” (boh). Il giorno dopo, sempre a Bologna, ha tenuto una conferenza intitolata “L’onnipresenza dell\u2019analogia in matematica”, conferenza che mi ha visto in prima fila tra il pubblico. Ho pensato di riportare qui una parte della conferenza, quella su un teorema aritmetico di Stanislaw Ulam, perch\u00e9 potrebbe spiegare come fanno i matematici a essere matematici, e soprattutto perch\u00e9 chi matematico non \u00e8 si trova a malpartito.<\/p>\n

Dopo aver spiegato che i matematici mettono sempre tutti in guardia dall’errore di pensare che una qualche propriet\u00e0 sia valida per analogia, Doug scrisse sulla lavagna un’uguaglianza molto semplice:<\/p>\n

     1+2 = 3<\/tt><\/p>\n

spiegando che probabilmente tutto il pubblico in sala sarebbe stato d’accordo sull’equazione ma nessuno avrebbe potuto dire cosa ci sarebbe stato dopo. In compenso, continu\u00f2, “quando aggiunger\u00f2 la seconda riga tutti coloro con una mente matematica sapranno sicuramente come la successione continuer\u00e0”. Ecco le prime due righe: <\/p>\n

     1+2 = 3<\/tt>
\n      4+5+6 = 7+8<\/tt><\/p>\n

Avete capito qual \u00e8 la regola della successione di uguaglianze? E siete convinti che sia vera?<\/p>\n

Per comodit\u00e0 di tutti, aggiungo qualche altra riga, garantendovi che tutte le uguaglianze sono corrette; se non ci credete, fatevi voi le somme.<\/p>\n

     1+2 = 3<\/tt>
\n      4+5+6 = 7+8<\/tt>
\n      9+10+11+12 = 13+14+15<\/tt>
\n      16+17+18+19+20 = 21+22+23+24<\/tt>
\n      25+26+27+28+29+30 = 31+32+33+34+35<\/tt><\/p>\n

Da qua la logica dietro la successione di uguaglianze dovrebbe essere ormai chiara a tutti; forse persino un computer ben programmato saprebbe trovarla. I numeri naturali sono scritti tutti consecutivamente; in ogni uguaglianza il lato destro ha un termine in meno di quello sinistro; ciascuna eguaglianza ha un termine in pi\u00f9 (a destra e a sinistra) rispetto alla quella della riga precedente.<\/p>\n

La prima differenza tra chi \u00e8 matematico (dentro) e chi non lo \u00e8 l’ho gi\u00e0 annunciata sopra: un matematico ha l’occhio allenato ad accorgersi dei pattern, e quindi gi\u00e0 con due sole righe formula un’ipotesi. Ma poi c’\u00e8 una seconda differenza, che \u00e8 quella che risponde al dubbio di Hofstadter “perch\u00e9 un matematico si lamenta sempre che non bisogna fidarsi delle analogie e poi le usa cos\u00ec tanto le analogie?” Anche in questo caso la risposta non \u00e8 poi cos\u00ec complicate: il matematico si aiuta<\/b> con le analogie, formula un’ipotesi, e poi la dimostra<\/b>, eliminando cos\u00ec la necessit\u00e0 dell’analogia. Anzi, la elimina cos\u00ec bene che nelle dimostrazioni non ce n’\u00e8 proprio traccia; cos\u00ec pu\u00f2 avere la faccia tosta di dire che le analogie sono dannose.<\/p>\n

Nel nostro caso, una dimostrazione non \u00e8 difficile; il bello \u00e8 che anche l’idea da cui partire nasce da un’analogia. Se volete dimostrare il teorema per conto vostro, smettete di leggere ora!<\/p>\n

Siete ancora qui? Bene. Se notate, il primo termine di ogni riga \u00e8 un quadrato perfetto. Questa \u00e8 una propriet\u00e0 interessante di suo, quindi tanto vale provare a dimostrarla: per fortuna \u00e8 molto facile, ricordando che n<\/i>2<\/sup> \u00e8 la somma dei primi n<\/i> numeri dispari, e che ogni uguaglianza ha un numero dispari di termini immediatamente superiore a quello precedente. Una rapida passata di induzione, e siamo a posto. A questo punto arriva l’idea vincente. I due lati dell’uguaglianza hanno un numero diverso di elementi; cerchiamo di farli diventare uguali, eliminandone uno dal lato sinistro. Il candidato naturale \u00e8 il quadrato, non foss’altro che perch\u00e9 l’abbiamo gi\u00e0 usato per qualcosa nella dimostrazione; a questo punto, prendendo una riga qualunque e spostando tutti gli altri elementi al secondo membro, otteniamo qualcosa come per esempio<\/p>\n

     16 = (21−17)+(22−18)+(23−19)+(24−20)<\/tt><\/p>\n

Qui la struttura viene di nuovo in nostro aiuto; in questo esempio particolare ci sono quattro differenze tutte uguali a quattro, e in effetti a sinistra abbiamo 42<\/sup>. Di nuovo, non \u00e8 difficile dimostrare che questo deve valere per tutte le righe, e cos\u00ec la dimostrazione complessiva \u00e8 terminata. No, la dimostrazione tecnica Doug non l’ha fatta e non la faccio nemmeno io: questo non \u00e8 un corso scolastico.<\/p>\n

La morale? Non fidatevi delle analogie, ma sfruttatele senza piet\u00e0. A volte verrete portati su una strada sbagliata, ma se siete pronti all’evenienza non sar\u00e0 poi la fine del mondo, e in compenso risparmierete tantissimo tutte le volte in cui invece saprete subito cosa fare per dimostrare un teorema!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Non \u00e8 che i matematici predichino bene e razzolino male: il punto \u00e8 che loro sono inconsciamente abituati a distinguere la scoperta di una propriet\u00e0 dalla sua dimostrazione, ma si dimenticano di mostrare il momento della scoperta.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2614","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Ga","jetpack-related-posts":[{"id":2481,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/02\/23\/quando-i-matematici-sbagliano\/","url_meta":{"origin":2614,"position":0},"title":"Quando i matematici sbagliano","author":".mau.","date":"23\/02\/2012","format":false,"excerpt":"Perch\u00e9 preoccuparsi delle smentite in fisica? 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