{"id":2598,"date":"2013-04-26T08:00:27","date_gmt":"2013-04-26T06:00:27","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2598"},"modified":"2022-10-11T12:29:51","modified_gmt":"2022-10-11T10:29:51","slug":"parilandia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/26\/parilandia\/","title":{"rendered":"Parilandia"},"content":{"rendered":"

Parilandia \u00e8 una nazione in cui non hanno voluto partire a contare da 1, perch\u00e9 indivisibile, e hanno preso il 2. Hanno poi imparato a sommare (2+2=4, 2+4=6, …) e moltiplicare (2*2=4, 2*4=8)… senza problemi, e hanno cos\u00ec definito i numeri “binteri”. Poi sono anche andati avanti: 1 di per s\u00e9 esiste, essendo 2\/2, ma non \u00e8 un bintero proprio come per noi 1\/2 non \u00e8 intero. Nella loro matematica hanno poi definito i numeri primi, quelli che non hanno nessun divisore; 2 \u00e8 primo, 4 non \u00e8 primo perch\u00e9 \u00e8 2·2, 6 \u00e8 primo (sarebbe 2·3, ma 3 mica \u00e8 un bintero…).<\/p>\n

Insomma va quasi tutto bene, se non per un guaio: in Parilandia non vale il teorema fondamentale dell’aritmetica, quello cio\u00e8 che afferma che un numero \u00e8 fattorizzabile in un unico modo come prodotto di primi. Qual \u00e8 il pi\u00f9 piccolo numero che \u00e8 fattorizzabile in due modi diversi? Il problema \u00e8 preso da Numberplay<\/a>, per la cronaca.<\/p>\n

L’idea dei binteri pu\u00f2 sembrare stupida, ma rivela una propriet\u00e0 comune in matematica: si prende un concetto e lo si estende. Il concetto di numero primo \u00e8 stato esteso agli interi di Gauss<\/a>, i numeri della forma a<\/i>+bi<\/i> con a<\/i> e b<\/i> interi. In effetti somma e prodotto di due interi di Gauss \u00e8 ancora un intero di Gauss, proprio come somma e prodotto di due numeri pari \u00e8 ancora un numero pari. L’unica avvertenza \u00e8 che il teorema di fattorizzazione unica vale a meno di elementi k<\/i> che sono invertibili<\/i>, tali cio\u00e8 che anche il loro inverso appartenga all’insieme di partenza; questi numeri, con molta fantasia, sono detti unit\u00e0<\/b>. Con gli interi positivi l’unica unit\u00e0 \u00e8 1; gi\u00e0 se prendiamo tutti gli interi abbiamo anche l'”unit\u00e0” −1, e con gli interi di Gauss le unit\u00e0 sono ben quattro; 1, −1, i<\/i> e −i<\/i>. (I numeri razionali diversi da zero sono tutti invertibili, e infatti non si parla di fattorizzazione di un numero razionale). <\/p>\n

La fattorizzazione unica pu\u00f2 sembrare una cosa assolutamente normale, e se in effetti lo fosse sarebbe stato molto pi\u00f9 semplice risolvere l’ultimo teorema di Fermat; invece ci sono estensioni degli interi per cui non vale. Consideriamo per esempio i numeri della forma a<\/i>+b<\/i>Φ, dove Φ=√(−5). In questo caso, abbiamo che 6 = 2·3 = (1+Φ)·(1−Φ), e nessuno di questi quattro numeri \u00e8 ulteriormente fattorizzabile. Per la cronaca, i matematici, sempre precisini, distinguono tra numeri primi e numeri irriducibili<\/a>. Un numero p<\/i> \u00e8 primo se \u00e8 diverso da zero, non \u00e8 un’unit\u00e0, ed \u00e8 tale che se p<\/i> divide ab<\/i> allora p<\/i> divide almeno uno tra a<\/i> e b<\/i>; un numero r<\/i> \u00e8 irriducibile se \u00e8 diverso da zero, non \u00e8 un’unit\u00e0, ed \u00e8 tale che se r<\/i> = ab<\/i> allora uno tra a<\/i> e b<\/i> \u00e8 un’unit\u00e0. In questo caso dunque 2 \u00e8 irriducibile ma non primo, visto che divide (1+Φ)·(1−Φ) ma non divide nessuno dei due fattori.<\/p>\n

Quando operiamo con i numeri interi dire che un numero \u00e8 primo e irriducibile \u00e8 la stessa cosa; abbiamo visto che in Parilandia, come anche per i numeri della forma a<\/i>+b<\/i>Φ, non \u00e8 cos\u00ec. Per completezza aggiungo che possono anche esserci numeri primi ma non irriducibili: se prendiamo i numeri modulo 6 abbiamo che 2 \u00e8 primo, ma \u00e8 anche il prodotto 5·4. Per i curiosi, qui la fregatura \u00e8 data dall’esistenza di due numeri diversi da zero il cui prodotto \u00e8 zero: quanto vale 2·3? Ma non divaghiamo. Quello che \u00e8 importante dal punto di vista matematico \u00e8 che tutta questa storia ha portato nel 1843 Ernst Kummer a definire un nuovo concetto, quello di ideale<\/b>: insomma, anche se il suo approccio non riusc\u00ec ad aver ragione dell’ultimo teorema di Fermat e ci volle ancora un secolo e mezzo prima di riuscire a dimostrarlo, la matematica fu lo stesso contenta perch\u00e9 nacque un nuovo campo di studi.<\/p>\n

Ah: se non avete ancora risolto il problema iniziale, la risposta \u00e8 semplice. Perch\u00e9 un numero bintero sia fattorizzabile in due modi diversi, deve avere almeno due fattori, altrimenti sarebbe primo; quindi deve essere un multiplo di 4; non per\u00f2 un multiplo di 8, perch\u00e9 l’ulteriore fattore 2 lo sposteremmo per conto suo. Poi, vedendolo come numero intero, deve avere due fattori dispari da far giocare. In pratica, quindi, bisogna predere due “fattori” 3: gli abitanti di Parilandia possono infatti fattorizzare 36 come 2*18 oppure 6*6, e 2, 6, 18 sono tutti numeri primi.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Noi diamo per scontata la fattorizzazione unica, ma non \u00e8 sempre cos\u00ec.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2598","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-FU","jetpack-related-posts":[{"id":2426,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/02\/il-crivello-dopo-eratostene\/","url_meta":{"origin":2598,"position":0},"title":"Il crivello dopo Eratostene","author":".mau.","date":"02\/08\/2011","format":false,"excerpt":"Non \u00e8 che ci siano chiss\u00e0 quali metodi per calcolare i numeri primi. 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