Vi siete mai chiesti perch\u00e9 le quattro operazioni siano proprio quattro, e non due, sette o quarantadue? Beh, quarantadue operazioni da ricordare sarebbero in effetti un po’ troppe, e forse elevazione a potenza, estrazione di radice e logaritmo non sono proprio cos\u00ec elementari; inoltre dire che “la sottrazione \u00e8 l’opposto dell’addizione e la divisione l’inverso della moltiplicazione” pu\u00f2 dare qualche problema con frazioni e numeri negativi. (Ah: c’\u00e8 chi dice che definire la moltiplicazione come somma ripetuta dia pi\u00f9 danni che altro. Ne riparliamo magari un’altra volta). Secondo me, insomma, la risposta \u00e8 che quattro era un bel numero, n\u00e9 troppo grande n\u00e9 troppo piccolo.<\/p>\n
Pu\u00f2 per\u00f2 sembrare incredibile, ma non \u00e8 necessario usare tutte e quattro le operazioni per ottenere i loro risultati: \u00e8 possibile definire una sola operazione \u25ca tale che a<\/em>+b<\/em>, a<\/em>\u2212b<\/em>, a<\/em>\u22c5b<\/em> e a<\/em>\/b<\/em> siano tutti esprimibili per mezzo di \u25ca, pur con un po’ di fatica e un paio di assunzioni – no, si chiamano “assiomi”. L’operazione \u00e8 naturalmente binaria: a<\/em> \u25ca b<\/em>, proprio come a<\/em>+b<\/em>. Quindi le tecniche che si applicano sono un po’ diverse da quelle che dicono a<\/em>\u2212b<\/em> = a<\/em>+(\u2212b<\/em>); in quest’ultimo caso infatti abbiamo introdotto un nuovo operatore unario<\/em> (il \u2212 davanti a un numero, che \u00e8 diverso dal \u2212 che si piazza in mezzo a due numeri anche se purtroppo viene scritto nello stesso modo). Volete sapere come si fa?<\/p>\n Innanzitutto possiamo scaldarci i muscoli con un esempio pi\u00f9 facile, quello delle porte logiche nei computer. In questo caso abbiamo solo due possibili valori di ingresso e uscita, V (vero) e F (falso); le porte logiche che si usano di solito sono AND, OR e NOT con le tabelle di verit\u00e0 (l’equivalente logico della tavola pitagorica) mostrate qui sotto.<\/p>\n (era una vita che volevo fare un po’ di ASCII art!) Oggi nella crittografia si usa spesso l’operazione XOR, che \u00e8 simile all’OR tranne per il fatto che V XOR V = F; per\u00f2 non \u00e8 un’operazione “nuova”, visto che A XOR B = ((A OR B) AND NOT (A AND B)). Bene: servono proprio tutte e tre le operazioni logiche di cui sopra? La risposta \u00e8 no; ce ne basta una sola. L’operazione da usare \u00e8 NAND, che ha la tabella di verit\u00e0 indicata qui sotto.<\/p>\n Infatti, per ottenere NOT A basta fare (A NAND A); a questo punto (A AND B) \u00e8 dato da NOT (A NAND B) e (A OR B) da ((NOT A) NAND (NOT B)). Che si pu\u00f2 ricavare da questo esempio? Che se vogliamo risparmiare sulle operazioni a disposizione, occorre aggiungere qualcosa che contenga al suo interno una negazione, visto che dal meno si pu\u00f2 ottenere il pi\u00f9 ma non viceversa; inoltre un’operazione unaria pu\u00f2 far comodo. Vediamo ora come sfruttare questa informazione nel caso delle operazioni aritmetiche. Per la cronaca, il procedimento l’ho trovato nel libro A Problem Seminary<\/em> di Donald J. Newman, che spacchetta la ricerca in due problemi (i primi del libro).<\/p>\n Per prima cosa, vediamo come \u00e8 possibile usare due sole operazioni per ottenere tutte e quattro quelle solite. I candidati che useremo sono la sottrazione e l’inverso x<\/em> \u2192 1\/x<\/em>. Avendo a disposizione la sottrazione possiamo immediatamente ottenere lo zero: x<\/em>\u2212x<\/em>=0. Il numero 1 invece lo dobbiamo assumere come esistente, o perlomeno presupporre che l’equazione x<\/em> = 1\/x<\/em> abbia almeno una soluzione. (Ah: man mano che riesco a ottenere un’operazione inizio a usarla come se l’avessi sempre avuta a disposizione, perch\u00e9 altrimenti rischierei di fare come Russell e Whitehead che nei loro Principia Mathematica<\/em> hanno usato una pagina di formule per dimostrare che 1+1=2…)<\/p>\n L’addizione non \u00e8 molto difficile da ottenere, quando si ha la sottrazione: x<\/em>+y<\/em> = x<\/em> \u2212 (0 \u2212 y<\/em>). Se riusciamo a ottenere la moltiplicazione, avremmo anche la divisione: in fin dei conti, x<\/em>\/y<\/em> = x<\/em>\u00b7(1\/y<\/em>). Come ottenere la moltiplicazione? Newman come aiutino afferma “cercate di esprimere x<\/em>2<\/sup>“: come se fosse semplice. Lo si pu\u00f2 fare per\u00f2 per gradi: si inizia a ricavare 1\/(x<\/em>2<\/sup>\u2212x<\/em>) = 1\/(x<\/em>(x<\/em>\u22121)) = \u2212((1\/x<\/em>)\u2212(1\/(x<\/em>\u22121))); da qui prendiamo l’inverso e sommiamo x<\/em> e siamo a posto. Il passo successivo consiste nel notare che (x<\/em>+y<\/em>)2<\/sup>\u2212x<\/em>2<\/sup>\u2212y<\/em>2<\/sup>=2xy<\/em>. Ci resta pertanto solo da ottenere xy<\/em> da 2xy<\/em>; ma quello \u00e8 immediato perch\u00e9 1\/((1\/(2xy<\/em>))+(1\/(2xy<\/em>)))=xy<\/em>.<\/p>\n Prendiamo un attimo fiato prima del rush finale. Come scrivevo sopra, siamo riusciti a esprimere le quattro operazioni a partire da sottrazione e inverso. Il secondo passo di Newman consiste nel trovare l’operazione (binaria) \u25ca con la quale poter esprimere sottrazione e inverso, e la sua risposta \u00e8 “mettiamo tutto assieme!” L’operazione scelta per x<\/em>\u25cay<\/em> \u00e8 infatti 1\/(x<\/em>\u2212y<\/em>). Ammettendo di avere a disposizione lo zero (e questo dev’essere proprio un assioma, stavolta: non ci sono santi) abbiamo che x<\/em> \u25ca 0 = 1\/(x<\/em>\u22120) = 1\/x<\/em>, e (x<\/em> \u25ca y<\/em> )\u25ca 0 – 1\/((1\/x<\/em>\u2212y<\/em>)-0) = x\u2212y. QED.<\/p>\n Si poteva fare di meglio? Non lo so. A me questa storia di dover assumere l’esistenza di zero e uno non \u00e8 che piaccia molto, ve lo dico subito. Insomma, se qualcuno trova un altro sistema \u00e8 il benvenuto!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Con un po’ di contorsioni, e ammettendo l’esistenza a priori di 0 e 1, \u00e8 possibile definire una singola operazione dalla quale si possono ottenere le quattro usuali 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