{"id":2563,"date":"2013-01-16T16:47:22","date_gmt":"2013-01-16T15:47:22","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2563"},"modified":"2022-10-11T11:35:34","modified_gmt":"2022-10-11T09:35:34","slug":"quante-palle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/01\/16\/quante-palle\/","title":{"rendered":"Quante palle!"},"content":{"rendered":"

Un problemino che a dire il vero non ho mai trovato molto interessante \u00e8 chiedere se \u00e8 meglio mettere un tappo quadrato in un foro rotondo oppure un tappo rotondo in un foro quadrato. Supponendo che i tappi siano della massima dimensione possibile, nel senso che se crescessero ancora non entrerebbero pi\u00f9 nel foro, la risposta \u00e8 semplice: un cerchio di raggio 1 viene inscritto in un quadrato di raggio 2, quindi la parte di area che viene tappata \u00e8 4\/π; un quadrato di diagonale 2 viene inscritto in un cerchio di raggio 1, quindi la parte di area che viene tappata \u00e8 π\/2. Considerando che il medio proporzionale tra 2 e 4 \u00e8 √2 che \u00e8 minore di π \u00e8 chiaro che \u00e8 meglio mettere il tappo rotondo nel foro quadrato. Detto tutto questo, il problemino continua a sembrarmi stupido, perch\u00e9 in nessun caso sto davvero tappando.
\n

\"\"<\/a>
quale tappo \u00e8 il migliore?<\/figcaption><\/figure><\/p>\n

Le cose iniziano a diventare pi\u00f9 interessanti se proviamo a spostarci dalle due dimensioni. In dimensione zero, lo “0-cubo” e la “0-sfera” (chiss\u00e0 perch\u00e9 si usano i nomi dei solidi… probabilmente perch\u00e9 siamo troppo abituati ai poligoni e verremmo distratti) sono dei punti. I tappi sono perfetti. In dimensione 1, 1-cubo e 1-sfera sono due segmenti, e anche in questo caso il tappo \u00e8 perfetto: gli abitanti di Flatlandia non devono certo rispondere a questi stupidi quizzini. Probabilmente vi ricordate anche le formule per il volume della sfera: c’\u00e8 la filastrocca che fa \u00abIl volume della sfera qual \u00e8? \/ Quattro terzi pi greco erre tre\u00bb. Quindi una sfera di raggio 1 dentro un cubo di lato 2 ne occuper\u00e0 una parte data da π\/6, mentre una sfera di raggio 1 circoscriver\u00e0 (sferiscriver\u00e0?) un cubo di lato 2\/√3 che ha volume 8\/(3√3). Il rapporto \u00e8 pertanto 2\/(√3π), minore di quello che abbiamo trovato in precedenza; entrambi questi rapporti sono ben minori di quelli che avevamo trovato nel caso bidimensionale. Tutto questo ci fa immaginare che andando avanti ad aumentare dimensioni questi tappi non tappino proprio nulla. Non che la cosa sia preoccupante: non troviamo nei negozi nemmeno bottiglie di Klein<\/a>, figuriamoci bottiglie n-dimensionali!<\/p>\n

\"\"<\/a>
Volume e area delle n-sfere (da Wikipedia)<\/figcaption><\/figure>\n

La formula che d\u00e0 il volume di una N-sfera al variare di N non \u00e8 esattamente banale, come potete vedere nella voce di Wikipedia in inglese ad essa dedicata<\/a> e da cui ho tratto la figura qui sopra: \u00e8 interessante notare che il volume di una N-sfera \u00e8 legato alla superficie di una N-1-sfera, mentre la superficie di una N-sfera \u00e8 legato, non lo credereste mai :-), al volume di una N-1-sfera. Questo significa che esistono in pratica due formule per il volume, a seconda che il numero di dimensioni sia pari o dispari: per una 2N-sfera di raggio unitario il volume \u00e8 πN<\/sup>\/N!, mentre per una 2N+1-sfera unitaria il volume \u00e8 2N+1<\/sup>πN<\/sup>\/(2N+1)!! – il doppio esclamativo \u00e8 un semifattoriale<\/i>, cio\u00e8 il prodotto dei termini da 1 a 2N+1 presi uno s\u00ec e uno no, o se preferite di tutti i numeri dispari da 1 a 2N+1.<\/p>\n

\"Un<\/a>Tutto questo, tradotto in numeri, significa che l’area di un cerchio unitario \u00e8 2, il volume di una sfera unitaria \u00e8 4,18+, quello di una 4-sfera \u00e8 4,93+, per una 5-sfera \u00e8 5,26+, ma per una 6-sfera cala a 5,16+ e da qui in poi continua a diminuire: insomma al crescere delle dimensioni una N-sfera comprende sempre meno N-spazio al suo interno. Un altro modo di vedere questo fatto \u00e8 un paradosso creato da Leo Moser, che ha considerato cosa succede se impacchettiamo un po’ di N-sfere di raggio unitario all’interno di un N-cubo di lato 4. In due dimensioni possiamo vedere qui a fianco il risultato: al centro del quadrato resta spazio per un cerchietto di raggio √2-1. Se passiamo alla terza dimensione, il cubo conterr\u00e0 otto sfere e al suo centro rester\u00e0 spazio per un’altra sfera di raggio √2-1. Con la quarta dimensione ci divertiamo gi\u00e0 un poco: oltre alle sedici sfere unitarie, nell’ipercubo ce ne possiamo mettere una diciassettesima, visto che quella centrale avr\u00e0 raggio √4-1 che \u00e8 proprio 1. Andando avanti con le dimensioni, ci dobbiamo fermare alla nona: infatti il nostro 9-cubo avr\u00e0 512 “angoli”, ciascuno con la sua 9-sfera: ma la 9-sfera al centro avr\u00e0 raggio √9-1, cio\u00e8 2, e quindi sar\u00e0 il “tappo sferico” del cubo, che tappa cos\u00ec poco che appunto lascia spazio per una quantit\u00e0 di palle grandi la met\u00e0 dell’originale. Ah: David Singmaster ha mostrato come a partire dalla nona dimensione \u00e8 meglio mettere il tappo ipercubico nel foro ipersferico, e non viceversa. Non riesco assolutamente a visualizzare la cosa, quindi ci credo sulla parola.
\nAllora, il titolo \u00e8 corretto?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Negli spazi multidimensionali le ipersfere sono sempre meno grandi… e cos\u00ec arriviamo a un paradosso.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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