{"id":2553,"date":"2012-12-18T14:27:59","date_gmt":"2012-12-18T13:27:59","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2553"},"modified":"2022-10-11T11:15:28","modified_gmt":"2022-10-11T09:15:28","slug":"quando-e-meglio-tirare-a-indovinare","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/12\/18\/quando-e-meglio-tirare-a-indovinare\/","title":{"rendered":"Quando \u00e8 meglio tirare a indovinare?"},"content":{"rendered":"

\u00c8 di nuovo tempo di concorsone, e di domande a risposta multipla. Se ve ne ricordate, ne avevo gi\u00e0 parlato un paio d’anni fa<\/a>: ai tempi avevo fatto una rapida analisi, mostrando che a seconda di quanto costa sbagliare una domanda rispetto a non dare risposta e a quante sono le risposte sensate tra cui si \u00e8 indecisi pu\u00f2 convenire tirare a indovinare piuttosto che lasciare perdere. Ora sono certo che siate pronti a un passo successivo, che forse vi sembrer\u00e0 poco intuitivo… ma la matematica non \u00e8 solo intuizione.<\/p>\n

In questo caso, le scelte per ogni risposta erano quattro; una risposta corretta dava un punto, una risposta errata toglieva mezzo punto, una mancata risposta non muoveva la classifica… pardon, il punteggio. L’analisi del valore atteso che avevo fatto due anni fa \u00e8 molto semplice. Tirare assolutamente a caso \u00e8 nocivo, visto che il valore atteso \u00e8 negativo (in un caso su quattro guadagni 1 e negli altri tre perdi 0,5: il risultato statistico \u00e8 -0,125). Eliminando una risposta come chiaramente errata e scegliendo a caso tra le altre tre si \u00e8 statisticamente neutri, mentre se si riesce a limitare la scelta a due sole possibilit\u00e0 allora conviene lanciare una monetina virtuale, con un risultato atteso medio di 0,25 punti. Fin qui la teoria di base. Ma un Vero Matematico non si ferma mica qua, e – udite, udite! – pu\u00f2 persino accorgersi che c’\u00e8 una vita reale fuori dai numeri!<\/p>\n

La semplice analisi statistica modellata qui sopra infatti si dimentica di un “banale” particolare: che esiste una soglia minima, in questo caso 35 punti rispetto a 50 domande, sotto la quale non si passa la preselezione. Detto in altri termini, ottenere 34,5, 30, oppure 0 \u00e8 assolutamente identico dal punto di vista del risultato (negativo) ottenuto. Non so se ottenere 35, 40 o 50 cambiasse qualcosa, ma supponiamo di no. Questa semplice considerazione ci pu\u00f2 portare molto lontano, se abbiamo voglia di fare un po’ di conti… o almeno di farli fare a un computer. Io sono della vecchia scuola, cos\u00ec ho preso un foglio di carta e una penna e ho provato a vedere cosa succede in una situazione semplificata: ci sono dieci domande, occorre fare almeno 7 punti, su sei domande sono certo, mentre sulle altre ho esattamente lo stesso tipo di indecisione, cio\u00e8 scelgo sempre a caso tra due, tre oppure tutte e quattro le risposte. Posto che se le si lascia tutte in bianco evidentemente non si passerebbe la prova, a quante domande conviene tentare di dare una risposta?<\/p>\n

Qui sotto potete vedere alcune tabelle, relative ai vari casi possibili; le colonne corrispondono al numero di domande a cui si risponde, mentre le caselle indicano il punteggio ottenuto e la probabilit\u00e0 di ottenerlo. Se la casella \u00e8 in neretto allora si \u00e8 passato l’esame, altrimenti no. Iniziamo con il caso pi\u00f9 favorevole, quello in cui si sceglie tra due risposte possibili:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
\n1<\/td>\n2<\/td>\n3<\/td>\n4<\/td>\n<\/th>\n
OK<\/b><\/td>\n7: 1\/2<\/b><\/td>\n8: 1\/4<\/b><\/td>\n9: 1\/8<\/b><\/td>\n10: 1\/16<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n <\/b><\/td>\n <\/b><\/td>\n7,5: 3\/8<\/b><\/td>\n8,5: 4\/16<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n <\/b><\/td>\n <\/b><\/td>\n <\/b><\/td>\n7: 6\/16<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
KO<\/td>\n <\/td>\n6,5: 2\/4<\/td>\n6: 3\/8<\/td>\n5,5: 4\/16<\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n5,5: 1\/2<\/td>\n5: 1\/4<\/td>\n4,5: 1\/8<\/td>\n4: 1\/16<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 
\nCome forse potevate immaginare, conviene provare a rispondere a tutte e quattro le domande, e avere cos\u00ec pi\u00f9 del 68% di possibilit\u00e0 (11\/16, per la precisione) di passare l’esame. Quello che non conviene assolutamente fare \u00e8 rispondere a solamente due domande: in questo caso la possibilit\u00e0 \u00e8 solo del 25%, mentre con una oppure tre risposte a caso la possibilit\u00e0 di passare \u00e8 il 50%. Anche il caso del candidato pi\u00f9 capra, quello che non sa proprio che pesci pigliare, rispecchia la mera logica statistica, che dice di rischiare il meno possibile:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
\n1<\/td>\n2<\/td>\n3<\/td>\n4<\/td>\n<\/th>\n
OK<\/b><\/td>\n7: 1\/4<\/b><\/td>\n8: 1\/16<\/b><\/td>\n9: 1\/64<\/b><\/td>\n10: 1\/256<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n <\/b><\/td>\n <\/b><\/td>\n7,5: 9\/64<\/b><\/td>\n8,5: 12\/256<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n <\/b><\/td>\n <\/b><\/td>\n <\/b><\/td>\n7: 54\/256<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
KO<\/td>\n <\/td>\n6,5: 6\/16<\/td>\n6: 27\/64<\/td>\n5,5: 108\/256<\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n5,5: 3\/4<\/td>\n5: 9\/16<\/td>\n4,5: 27\/64<\/td>\n4: 81\/256<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 
\nIn definitiva, in un caso come questo dove il valore atteso per ogni tentativo \u00e8 negativo conviene giocare con la strategia “o la va o la spacca”. La probabilit\u00e0 di riuscita \u00e8 solo del 25%, ma comunque meglio che nulla. Il caso pi\u00f9 interessante \u00e8 per\u00f2, e forse potevamo aspettarcelo, quello di mezzo; quello insomma dove abbiamo una possibilit\u00e0 su tre di indovinare la risposta, e la statistica dice che provare o non provare \u00e8 ininfluente. Cosa otteniamo?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
\n1<\/td>\n2<\/td>\n3<\/td>\n4<\/td>\n<\/th>\n
OK<\/b><\/td>\n7: 1\/3<\/b><\/td>\n8: 1\/9<\/b><\/td>\n9: 1\/27<\/b><\/td>\n10: 1\/81<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n <\/b><\/td>\n <\/b><\/td>\n7,5: 6\/27<\/b><\/td>\n8,5: 8\/81<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n <\/b><\/td>\n <\/b><\/td>\n <\/b><\/td>\n7: 24\/81<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
KO<\/td>\n <\/td>\n6,5: 4\/96<\/td>\n6: 12\/27<\/td>\n5,5: 32\/81<\/td>\n<\/tr>\n
 <\/td>\n5,5: 2\/3<\/td>\n5: 4\/9<\/td>\n4,5: 8\/27<\/td>\n4: 16\/81<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 
\nSe proviamo a rispondere a una sola domanda, abbiamo una probabilit\u00e0 su 3 (33% circa) di passare l’esame. Con due domande, scendiamo a 1\/9 (11% circa); con tre domande risaliamo leggermente a 7\/27, cio\u00e8 quasi il 26%. Ma se proviamo a rispondere a tutte e quattro le domande, la percentuale di riuscita sale a ben 33\/81, cio\u00e8 pi\u00f9 del 40%! <\/p>\n

Come mai tutta questa differenza di risultati? Il valore atteso del punteggio non \u00e8 sempre lo stesso? Certo che s\u00ec. Ma ribadisco: noi non stiamo cercando di massimizzare il valore atteso, bens\u00ec la probabilit\u00e0 di raggiungere una certa soglia. Possiamo allora permetterci il lusso di accettare di poter avere un punteggio molto pi\u00f9 basso, che abbassa pesantemente il valore atteso, se in cambio riusciamo pi\u00f9 facilmente ad aggrapparci al sei politico, anzi in questo caso al sette. Insomma, \u00e8 vero che il valore atteso \u00e8 un singolo numero che ci d\u00e0 un’idea di cosa sta succedendo, ma non possiamo usarlo bovinamente in ogni occasione; dobbiamo prima capire cosa vogliamo davvero dalla vita.<\/p>\n

Post Scriptum: sarebbe interessante, e magari una volta o l’altra ci provo, a vedere che succede nel caso in cui si \u00e8 certi di 30 risposte su 50, occorre fare 25 punti, e per le altre 20 domande si pu\u00f2 decidere se non rispondere o scegliere a caso tra tre risposte dopo avere eliminato la quarta (gli altri due casi sono banali: salvo fluttuazioni statistiche dovrebbe convenire rispondere al minimo numero possibile di domande se il valore atteso \u00e8 negativo, e a tutte le domande se invece \u00e8 positivo). <\/p>\n

Un’altra estensione al problema consiste nell’avere domande con un numero di risposte sensate differenti. L’analisi sembra complicarsi molto; ma in realt\u00e0 la si pu\u00f2 semplificare notando come se voglio rispondere a una sola domanda tra due \u00e8 meglio provare con quella che mi d\u00e0 le maggiori probabilit\u00e0 di vincita. Pertanto se le scelte tra le quattro domande mancanti nell’esempio originale fossero 4,3,2,3 allora conviene ordinarle 2,3,3,4 e fare l’analisi come prima. Morale: prima di mettersi a fare i conti brutali, anche se si ha un calcolatore a disposizione, \u00e8 sempre meglio un controllo teorico!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

A volte conviene rischiare anche quando si sa che c’\u00e8 un’alta probabilit\u00e0 di perdere… ma solo se tanto si perderebbe lo stesso.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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