{"id":2551,"date":"2012-12-03T14:42:23","date_gmt":"2012-12-03T13:42:23","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2551"},"modified":"2022-10-11T11:14:53","modified_gmt":"2022-10-11T09:14:53","slug":"perche-le-note-sono-sette","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/12\/03\/perche-le-note-sono-sette\/","title":{"rendered":"Perch\u00e9 le note sono sette?"},"content":{"rendered":"

In questi giorni mi \u00e8 capitato di chiacchierare con un losco figuro<\/a> che si chiedeva come diavolo funzionasse la storia degli armonici per trovare le note. La mia risposta iniziale \u00e8 stata “non c’entrano, \u00e8 il risultato di duemila e pi\u00f9 anni di aggiustamenti”, e poi c’\u00e8 stato tutto uno scambio di messaggi su come funzionano le cose, dove si scopre che gli armonici sono solo la punta dell’iceberg di uno studio che ha cercato il modo migliore di infilare un tappo tondo in un foro quadrato, o pi\u00f9 precisamente “quadrare il cerchio delle quinte”. Per\u00f2 non mi metto a spiegarvi di nuovo la rava e la fava, visto che prima di iniziare questo blog avevo gi\u00e0 trattato il tema sul mio blog personale: trovate il tutto a partire da qui<\/a>, e se proprio la cosa non vi piace c’\u00e8 pur sempre Wikipedia<\/a>. Qui invece provo a rispondere a una questione a cui non avevo mai fatto troppo caso: perch\u00e9 le note sono sette?<\/p>\n

La domanda \u00e8 meno peregrina di quanto sembri, soprattutto considerato che in realt\u00e0 l’ottava \u00e8 divisa in dodici<\/b> intervalli – i semitoni – e non si capisce bene da dove esca fuori il numero sette. A dire il vero, quella che presento qui non credo affatto sia la ragione ufficiale della scelta, anche perch\u00e9 gli antichi greci avevano un modo completamente diverso di vedere le scale musicali; ma ho voluto divertirmi a vedere cosa succedeva scegliendo qualche assioma “intuitivo” e traendone le conseguenze logiche. Ditemi poi voi se la cosa vi ha divertito.<\/p>\n

Per iniziare, partiamo dalla scoperta dei pitagorici sul suono di corde di spessore e tensione identiche – cosa che dar\u00f2 per scontata nel seguito, per evitare di ripetermi – ma lunghezza diversa. \u00c8 facile accorgersi che dimezzando la lunghezza della corda si ottiene un suono pi\u00f9 acuto ma fondamentalmente simile, che possiamo definire “equivalente” a quello iniziale. Abbiamo cos\u00ec la nostra prima proposizione:<\/p>\n

Assioma 1<\/strong>: le note generate da due corde di lunghezza l’una doppia dell’altra possono avere lo stesso nome<\/p><\/blockquote>\n

Prendiamo pertanto una lunghezza a caso, e chiamiamo DO la nota corrispondente a quella lunghezza. Ma l’assioma ci dice anche un’altra cosa: se una corda di una certa lunghezza suona un DO, lo far\u00e0 anche una corda di lunghezza un mezzo, un quarto, un ottavo… Da qua si ottiene subito un teorema:<\/p>\n

Teorema 1<\/strong>: la “differenza” tra due note \u00e8 in realt\u00e0 un rapporto<\/em>. Due note sono alla stessa distanza se il rapporto delle lunghezze delle corde corrispondenti \u00e8 lo stesso.<\/p><\/blockquote>\n

A questo punto permettetemi un anacronismo: invece che la lunghezza della corda inizio a usare il suo inverso, che poi \u00e8 la frequenza<\/b> relativa. I greci non avevano il concetto di frequenza ma noi s\u00ec, e visto che siamo abituati a usarla, perch\u00e9 farci del male? L’assioma 1 e il teorema 1 diventano cos\u00ec <\/p>\n

Assioma 1bis<\/strong>: le note di frequenza l’una doppia dell’altra possono avere lo stesso nome<\/p><\/blockquote>\n

Teorema 1bis<\/strong>: la “differenza” tra due note \u00e8 in realt\u00e0 un rapporto<\/em>. Due note sono alla stessa distanza se il rapporto delle frequenze corrispondenti \u00e8 lo stesso.<\/p><\/blockquote>\n

Ora, proseguire solo con i DO non ci porta molto avanti. Accorgiamoci allora di un’altra propriet\u00e0 acustica: due note di frequenza una tripla dell’altra sono indubbiamente diverse ma stanno bene assieme, cos\u00ec come due note di frequenza una quintupla dell’altra (il caso di frequenza quadrupla ci d\u00e0 di nuovo un DO, quindi non conta). Chiamiamo la nota di frequenza tripla SOL e quella di frequenza quintupla MI, e passiamo ad aggiungere un nuovo assioma euristico:<\/p>\n

Assioma 2<\/strong>: Due note le cui frequenze sono in un rapporto piccolo (con numeratore e denominatore non superiore a 5) stanno bene assieme.<\/p><\/blockquote>\n

Riportando nell’intervallo [1,2] le note che avevamo visto prima, abbiamo che il SOL ha frequenza 3\/2 e il MI frequenza 5\/4. Possiamo per\u00f2 avere altre due note: quella con frequenza 4\/3, che chiameremo FA, e quella con frequenza 5\/3, che chiameremo LA. Abbiamo pertanto la seguente tabella:<\/p>\n\n\n
\nDO<\/td>\nMI<\/td>\nFA<\/td>\nSOL<\/td>\nLA<\/td>\nDO<\/td>\n<\/th>\n
frequenza<\/td>\n1<\/td>\n5\/4<\/td>\n4\/3<\/td>\n3\/2<\/td>\n5\/3<\/td>\n2<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 
\nA questo punto per\u00f2 abbiamo un piccolo problema: suonare insieme un MI e un FA d\u00e0 un risultato abbastanza cacofonico. Ma non \u00e8 cos\u00ec difficile mettere a posto le cose: basta ordinare opportunamente le note, tenendo il DO in mezzo e spostando le altre da una parte e dall’altra. Ecco il nuovo risultato, con una simpatica aggiunta: il rapporto tra due note “consecutive”, o pi\u00f9 precisamente tra una nota e la “seguente”.<\/p>\n\n\n\n\n
\nFA<\/td>\nLA<\/td>\nDO<\/td>\nMI<\/td>\nSOL<\/td>\n<\/th>\n
rapporto<\/td>\n5\/4<\/td>\n6\/5<\/td>\n5\/4<\/td>\n6\/5<\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n
frequenza<\/td>\n <\/td>\n <\/td>\n1<\/td>\n5\/4<\/td>\n3\/2<\/td>\n<\/tr>\n
frequenza<\/td>\n4\/3<\/td>\n5\/3<\/td>\n2<\/td>\n <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 
\nLa situazione ora \u00e8 molto simmetrica: come vedete, i rapporti 5\/4 e 6\/5 si alternano, e soprattutto prendendo tre note consecutive qualunque otteniamo un piacevole accordo, che pu\u00f2 presentarsi in due forme: con il rapporto maggiore per primo (come in FA LA DO e DO MI SOL) oppure con il rapporto minore per primo (come in LA DO MI). La cosa pi\u00f9 naturale da fare, per un essere umano, \u00e8 proseguire il pattern, e ampliare la lista. Ecco che si ottiene inserendo una nuova nota, che chiameremo RE, alla sinistra e un’altra nota, un SI, alla destra:<\/p>\n\n\n\n\n
\nRE<\/td>\nFA<\/td>\nLA<\/td>\nDO<\/td>\nMI<\/td>\nSOL<\/td>\nSI<\/td>\n<\/th>\n
rapporto<\/td>\n6\/5<\/td>\n5\/4<\/td>\n6\/5<\/td>\n5\/4<\/td>\n6\/5<\/td>\n5\/4<\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n
frequenza<\/td>\n <\/td>\n <\/td>\n <\/td>\n1<\/td>\n5\/4<\/td>\n3\/2<\/td>\n15\/8<\/td>\n<\/tr>\n
frequenza<\/td>\n10\/9<\/td>\n4\/3<\/td>\n5\/3<\/td>\n2<\/td>\n <\/td>\n <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

 
\nAbbiamo trovato dei numeri con coefficienti un po’ pi\u00f9 grandi, ma i due nuovi accordi sono anch’essi piacevoli. E quel che \u00e8 ancora pi\u00f9 bello \u00e8 che aggiungendo ancora una nota alla destra troviamo di nuovo un RE! Abbiamo insomma chiuso il cerchio, ottenuto tre accordi “maggiori” (FA LA DO, DO MI SOL, SOL SI RE) e tre accordi “minori” (RE FA LA, LA DO MI, MI SOL SI), e creato \/ scoperto \/ definito (scegliete voi il verbo) sette note. Tutto torna!<\/p>\n

Teorema 2<\/strong>: Dati gli Assiomi 1 e 2, si ottengono sette note.<\/p><\/blockquote>\n

Beh, non proprio: in effetti ho barato. Il RE che si ottiene a destra del SI non \u00e8 lo stesso RE che si \u00e8 ottenuto a sinistra del FA; quest’ultimo, come avete visto, ha una frequenza pari a 10\/9 mentre il primo ha frequenza 9\/8 (che tra l’altro \u00e8 la frequenza ufficialmente considerata quella “corretta” nella cosiddetta intonazione naturale<\/em>). Il guaio \u00e8 sempre lo stesso: \u00e8 impossibile che una potenza positiva di 3 abbia lo stesso valore di una potenza positiva di 2. L’errore in questo caso \u00e8 dato dal rapporto tra 10\/9 e 9\/8: vale a dire 81\/80 (il comma di Didimo<\/em>), o se guardate il rapporto dall’altro lato 80\/81 (il comma sintonico<\/em>). In genere l’errore lo si trova quando si usa il circolo delle quinte<\/a> per trovare i dodici semitoni in cui viene generalmente divisa l’ottava, andando avanti per intervalli di quinta (il mio DO-SOL); questa mia costruzione usa terze maggiori (DO-MI) e terze minori (LA-DO), ma arriva allo stesso risultato pratico.<\/p>\n

Tutta la teoria dell’accordatura degli strumenti, come scrivevo all’inizio di questo post, ha cercato di trovare un “buon” modo per distribuire questo errore tra le varie note nella maniera il pi\u00f9 nascosta possibile. I curiosi possono valutare la bont\u00e0 del proprio orecchio ascoltando, grazie a Wikipedia, il primo preludio del Clavicembalo ben temperato suonato con due accordature diverse: quella equabile<\/a> che usiamo solitamente, e quella Werckmeister III<\/a>. Confesso che in questo caso io non sono riuscito a cogliere le differenze, anche se in altre occasioni mi \u00e8 saltata subito all’orecchio la differenza.<\/p>\n

Resta per\u00f2 la certezza che se si arriva a sette note siamo “quasi” a posto, e questo \u00e8 il massimo che si riesca a ottenere senza andare a usare una quarantina di note diverse. Ecco il perch\u00e9 di un numero cos\u00ec difficilmente divisibile!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Qualche considerazione non troppo seria sulle scale musicali. Non credete troppo a quello che ho scritto!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2551","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-F9","jetpack-related-posts":[{"id":2279,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/06\/16\/vuvuzela-o-cara\/","url_meta":{"origin":2551,"position":0},"title":"Vuvuzela o cara","author":".mau.","date":"16\/06\/2010","format":false,"excerpt":"A quanto sembra la vera protagonista dei mondiali di calcio 2010 \u00e8 questa specie di trombetta di plastica. \u00c8 davvero impossibile eliminarla dalle telecronache?","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2458,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/11\/16\/non-mi-piace-la-fisica\/","url_meta":{"origin":2551,"position":1},"title":"Non mi piace la fisica","author":".mau.","date":"16\/11\/2011","format":false,"excerpt":"Matematici e fisici sono come cani e gatti (di Schr\u00f6dinger?). 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