{"id":2535,"date":"2012-09-17T18:03:52","date_gmt":"2012-09-17T16:03:52","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2535"},"modified":"2022-10-11T11:07:34","modified_gmt":"2022-10-11T09:07:34","slug":"vero-o-falso-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/09\/17\/vero-o-falso-2\/","title":{"rendered":"Vero o falso 2"},"content":{"rendered":"

Mentre preparavo il post della scorsa volta<\/a>, mi sono ricordato di aver letto alcuni mesi fa su un qualche blog qualcosa del genere, con una lista infinita di affermazioni e qualche paradosso. Non mi ricordavo affatto quale fosse il blog e di chi fosse il paradosso; alla fine sono riuscito a ricordarmi quest’ultimo stesso – un paradosso interessante, almeno per chi si diverte con queste cose – e tornato ad avere una connessione decente sono riuscito a scoprire che \u00e8 stato definito nel 1993 da Stephen Yablo<\/a>.<\/p>\n

Supponiamo di avere una lista di N<\/i> affermazioni come le seguenti, e volere stabilire quali siano vere e quali false:<\/p>\n

\n1. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
\n2. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
\n…
\nN<\/i>. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.\n<\/p><\/blockquote>\n

Memori dei problemi della volta scorsa, iniziamo con un caso semplice ma non troppo, cio\u00e8 N<\/i>=2. Peccato che ci fermiamo lo stesso subito, leggendo la seconda (e ultima) affermazione. Di “affermazioni successive” ad essa non ce ne sono: che diavolo significa, allora? Beh, qui entrano in gioco le mirabolanti probabilit\u00e0 dell’insieme vuoto<\/a>, che ci fanno dire che l’affermazione \u00e8 senz’altro vera. Le regole formali delle inferenze logiche affermano infatti che il suo essere falsa \u00e8 equivalente a dire che esiste un’affermazione successiva che \u00e8 vera: trovatela, se ci riuscite. (Qualcuno potrebbe obiettare che con lo stesso ragionamento si dimostra che se l’ultima affermazione fosse “Tutte le affermazioni successive a questa sono vere”, anch’essa sarebbe vera. Appunto: le mirabolanti propriet\u00e0 dell’insieme vuoto.)<\/p>\n

La seconda affermazione quindi \u00e8 vera, pertanto la prima \u00e8 falsa, per la ragione spiegata sopra: non c’\u00e8 pi\u00f9 l’insieme vuoto, finalmente. Lo stesso risultato capita con un numero qualunque N<\/i> di affermazioni, da tre in su; l’ultima della lista \u00e8 l’unica a essere vera, le altre false. In questo caso avremmo anche potuto generalizzare al caso N<\/i>=1, a dire il vero; semplicemente, la singola affermazione, essendo l’unica presente e quindi l’ultima, \u00e8 vera. Devo per\u00f2 dire che se leggo una “lista” composta dalla singola frase “1. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false”, pi\u00f9 che valutarne verit\u00e0 o falsit\u00e0 mi viene voglia di valutare le facolt\u00e0 mentali di chi l’ha scritta…<\/p>\n

Passiamo ora, come avrete intuito, al caso infinito. Ci troviamo ω affermazioni:<\/p>\n

\n1. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
\n2. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
\n…
\nN<\/i>. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
\nN<\/i>+1. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
\n…\n<\/p><\/blockquote>\n

Mo’ che si fa? L'”ultima” affermazione non c’\u00e8! Per stabilire verit\u00e0 o falsit\u00e0 delle affermazioni, dovremo lavorare in maniera indiretta. Immaginiamo che l’affermazione in posizione k<\/i> sia vera: tutte quelle da k<\/i>+1 in poi saranno pertanto false. Ma consideriamo l’affermazione in posizione k<\/i>+1. Visto che per ipotesi essa \u00e8 falsa, significa che ci dev’essere almeno un’altra affermazione successiva, diciamo in posizione m<\/i>, che \u00e8 vera. Ma se m<\/i> \u00e8 successiva a k<\/i>+1, allora \u00e8 successiva anche a k<\/i>; quindi l’ipotesi era errata. Dato che k<\/i> \u00e8 qualunque, possiamo stabilire con molta fiducia che tutte le affermazioni sono false. Quod erat demonstrand… Oops! Avete visto cosa \u00e8 successo? Se tutte le affermazioni sono false, allora ciascuna di esse \u00e8 vera! Insomma, abbiamo un paradosso.<\/p>\n

La cosa divertente \u00e8 che basta aggiungere un’affermazione dopo quella di numero ordinale ω perch\u00e9 il paradosso sparisca. Infatti, se abbiamo come ultima affermazione “ω+1. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false”, questa<\/b> sar\u00e0 vera, e tutte le infinite precedenti possono essere false senza tema di paradosso. Naturalmente, il paradosso si ripresenterebbe se la lista contenesse 2ω affermazioni, o un qualunque ordinale limite, quelli insomma che non hanno ultimo elemento nella lista.<\/p>\n

Cosa succede se proviamo a cambiare leggermente le frasi? Proviamo con<\/p>\n

\n1. Tutte le affermazioni precedenti a questa nella lista sono false.
\n2. Tutte le affermazioni precedenti a questa nella lista sono false.
\n…
\nN<\/i>. Tutte le affermazioni precedenti a questa nella lista sono false.…\n<\/p><\/blockquote>\n

Nel caso finito, il procedimento \u00e8 lo stesso: la prima<\/b> affermazione \u00e8 vera per le mirabolanti propriet\u00e0 dell’insieme vuoto, e le altre sono pertanto false. Ma anche nel caso infinito succede la stessa cosa! La prima affermazione, in fin dei conti, continua a esserci; e che importa se l’affermazione di indice ω+1 non ne ha una immediatamente precedente, visto che tanto noi le controlliamo tutte in un colpo solo… Niente simmetria, insomma.<\/p>\n

Un ultimo commento: preparando questi post ho forse capito perch\u00e9 Cantor \u00e8 impazzito… Con gli infiniti \u00e8 meglio non scherzare.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Altri elenchi di affermazioni, finiti e infiniti, e altri risultati controintuitivi<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2535","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-ET","jetpack-related-posts":[{"id":447,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/12\/12\/arriva-godel\/","url_meta":{"origin":2535,"position":0},"title":"Arriva G\u00f6del!","author":".mau.","date":"12\/12\/2011","format":false,"excerpt":"Cosa dice esattamente il teorema di G\u00f6del? 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