{"id":2533,"date":"2012-09-12T06:30:58","date_gmt":"2012-09-12T04:30:58","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2533"},"modified":"2022-10-11T11:06:45","modified_gmt":"2022-10-11T09:06:45","slug":"vero-o-falso","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/09\/12\/vero-o-falso\/","title":{"rendered":"Vero o falso?"},"content":{"rendered":"

Supponete di dovere stabilire la verit\u00e0 o la falsit\u00e0 di tutte le affermazioni di una lista, affermazioni che naturalmente sono autoreferenziali – o se preferite listareferenziali – perch\u00e9 altrimenti non ci sarebbe gusto. Le affermazioni della lista sono cento:<\/p>\n

1. Questa lista contiene esattamente un’affermazione falsa.
\n2. Questa lista contiene esattamente due affermazioni false.
\n3. Questa lista contiene esattamente tre affermazioni false.
\n…
\n99. Questa lista contiene esattamente novantanove affermazioni false.
\n100. Questa lista contiene esattamente cento affermazioni false.\n<\/p><\/blockquote>\n

Come affrontare il problema?<\/p>\n

La prima idea che pu\u00f2 venire in mente \u00e8 iniziare con un caso pi\u00f9 semplice. Prendiamo allora una lista con una sola affermazione, la prima: dire “1. Questa lista contiene esattamente un’affermazione falsa.” equivale a dire “Questa affermazione \u00e8 falsa”, il che come ben ricordate \u00e8 un paradosso. Occhei, forse abbiamo esagerato troppo a semplificare… oppure c’\u00e8 qualcosa di inquietante. Per esserne certi, passiamo al caso successivo:<\/p>\n

1. Questa lista contiene esattamente un’affermazione falsa.
\n2. Questa lista contiene esattamente due affermazioni false.\n<\/p><\/blockquote>\n

Chiaramente le affermazioni sono mutualmente esclusive, quindi non possono essere entrambe vere. Non possono essere entrambe false, perch\u00e9 la seconda frase allora sarebbe vera il che \u00e8 assurdo. Se ce ne fosse una sola falsa, la prima frase sarebbe vera e la seconda falsa, e quindi in effetti la soluzione \u00e8 corretta. Niente paradossi, per fortuna.<\/p>\n

Se volete, potete provare il caso di una lista di tre elementi; ma sono certo che voi siete abbastanza perspicaci da aver gi\u00e0 capito il pattern. Tra le cento affermazioni, al pi\u00f9 ne pu\u00f2 essere vera una. Se non ne fosse vera nessuna, allora lo sarebbe la centesima, il che \u00e8 impossibile. Se ce n’\u00e8 una sola vera, 99 sono false e quindi l’affermazione vera \u00e8 la novantanovesima. Questo vale per un qualunque numero di affermazioni nella lista, da 2 in su; l’unica frase corretta \u00e8 la penultima. <\/p>\n

Bene, esageriamo un po’. Se la lista \u00e8 infinita?<\/p>\n

1. Questa lista contiene esattamente un’affermazione falsa.
\n2. Questa lista contiene esattamente due affermazioni false.
\n3. Questa lista contiene esattamente tre affermazioni false.
\n…
\nN<\/i>. Questa lista contiene esattamente N<\/i> affermazioni false.
\nN<\/i>+1. Questa lista contiene esattamente N<\/i>+1 affermazioni false.
\n…\n<\/p><\/blockquote>\n

Sappiamo che al pi\u00f9 una delle affermazioni pu\u00f2 essere corretta; per\u00f2 la “penultima” affermazione non esiste! La soluzione corretta \u00e8 quindi dire che tutte<\/b> le affermazioni sono false, il che in effetti \u00e8 sensato visto che presa una qualunque delle affermazioni essa sarebbe falsa. Toh, anche le generalizzazioni troppo spinte sono esagerate…<\/p>\n

In un momento di follia (da qui in poi potete smettere di leggere, insomma, anche perch\u00e9 potrei sbagliarmi della grossa!) avevo provato ad aggiungere ancora affermazioni: essendo una lista, le singole frasi hanno un numero di ordine che \u00e8 un ordinale (che fantasia!) e quindi dopo infiniti elementi possiamo continuare con<\/p>\n

\n…
\nω+1. Questa lista contiene esattamente ℵ0<\/sub> affermazioni false.
\nω+2. Questa lista contiene esattamente ℵ0<\/sub> affermazioni false.
\n…\n<\/p><\/blockquote>\n

(nota: dopo le infinite affermazioni, la prima che c’\u00e8 ha numero d’ordine ω+1, perch\u00e9 \u00e8 appunto quella dopo ω) Avrete sicuramente notato come la quantit\u00e0 di affermazioni false non \u00e8 un ordinale ma un cardinale, e continua ad essere lo stesso. D’altra parte, se hai una lista infinita per definizione gli elementi sono numerabili e la sua cardinalit\u00e0 \u00e8 ℵ0<\/sub>: se serve, potete rinfrescarvi la memoria con quanto scrissi a suo tempo<\/a>. Allora, quante sono le affermazioni vere?<\/p>\n

Beh, le prime infinite, nel senso di ω, affermazioni continuano a essere tutte incompatibili tra loro. Anche se ce ne fosse una vera, ne rimarrebbero sempre infinite, nel senso di ℵ0<\/sub>, errate, giusto? Quindi abbiamo due conseguenze: tra le prime infinite, nel senso di ω, non ce n’\u00e8 nessuna di vera, e tutte le affermazioni dalla ω+1 in poi sono vere, e ce ne possono tranquillamente essere infinite, di nuovo nel senso di ℵ0<\/sub>. Abbiamo insomma un risultato ancora diverso da quello che ci potevamo aspettare. Mai fidarsi dell’infinito.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Gi\u00e0 non \u00e8 sempre facile decidere se un’affermazione \u00e8 vera o falsa; ma quando c’\u00e8 un elenco di affermazioni la cosa diventa ancora pi\u00f9 complicata… soprattutto se l’elenco in questione \u00e8 infinito.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2533","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-ER","jetpack-related-posts":[{"id":447,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/12\/12\/arriva-godel\/","url_meta":{"origin":2533,"position":0},"title":"Arriva G\u00f6del!","author":".mau.","date":"12\/12\/2011","format":false,"excerpt":"Cosa dice esattamente il teorema di G\u00f6del? 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