{"id":2530,"date":"2012-09-07T06:45:17","date_gmt":"2012-09-07T04:45:17","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2530"},"modified":"2022-10-11T11:05:52","modified_gmt":"2022-10-11T09:05:52","slug":"radici-quadrate-babilonesi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/09\/07\/radici-quadrate-babilonesi\/","title":{"rendered":"Radici quadrate babilonesi"},"content":{"rendered":"<p>Nel <a href=\"https:\/\/www.ilpost.it\/mauriziocodogno\/2012\/09\/03\/radici-quadrate-con-carta-e-penna\/\">post precedente<\/a> abbiamo visto l&#8217;algoritmo &#8220;scolastico&#8221;, nel senso che \u00e8 quello studiato a scuola, per estrarre le radici quadrate. Funziona, abbiamo anche visto perch\u00e9, ma non \u00e8 il pi\u00f9 antico metodo di calcolo che \u00e8 stato usato! Non so effettivamente quando sia apparso l&#8217;algoritmo noto come <strong>metodo babilonese<\/strong>, ma sicuramente \u00e8 precedente all&#8217;estrazione specifica, visto che quest&#8217;ultima \u00e8 necessariamente successiva all&#8217;uso della notazione decimale.<\/p>\n<p><!--more-->Il calcolo della radice quadrata con il metodo babilonese \u00e8 concettualmente semplice; per calcolare la radice quadrata di <em>x<\/em>, si parte con una stima qualunque <em>s<sub>0<\/sub><\/em> (se uno non \u00e8 proprio capace a stimare, pu\u00f2 prendere 1). La seconda stima <em>s<sub>1<\/sub><\/em> sar\u00e0 la media aritmetica tra s<sub>0<\/sub> e <em>x<\/em>\/<em>s<\/em><sub>0<\/sub>, e cos\u00ec via. Il metodo converge molto velocemente: guardate cosa succede con la radice quadrata di 2.<\/p>\n<blockquote><p><em>s<\/em><sub>0<\/sub> = 1<br \/>\n<em>s<\/em><sub>1<\/sub> = (1+2)\/2 = 3\/2 = 1,5<br \/>\n<em>s<\/em><sub>2<\/sub> = ((3\/2)+(4\/3))\/2 = 17\/12 = 1,41666&#8230;<br \/>\n<em>s<\/em><sub>3<\/sub> = ((17\/12)+(24\/17))\/2 = 577\/408 = 1,41422&#8230;<\/p><\/blockquote>\n<p>Considerando che il valore corretto \u00e8 1,41421&#8230; non abbiamo dovuto fare molto lavoro, no? (occhei, lavorare con 2 ha semplificato i conti. Provate con 3,1415926535). Il motivo per cui il metodo funziona \u00e8 semplice. Per definizione, se <em>s<sub>i<\/sub><\/em> \u00e8 una stima per difetto di \u221a<em>x<\/em>, allora <em>x<\/em>\/<em>s<sub>i<\/sub><\/em> sar\u00e0 una stima per eccesso, e viceversa. \u00c8 vero che la media tra i due valori non \u00e8 necessariamente una stima migliore di quella iniziale: pensate a calcolare la radice di 1000 partendo da 1 e trovando 500,5 come secondo valore. Ma questo pu\u00f2 capitare solo al primo passo. In seguito, se il numero di partenza \u00e8 maggiore di 1, \u00e8 facile mostrare come tutte le stime successive siano per eccesso; gli scettici possono andare a leggere su Wikipedia le propriet\u00e0 della disuguaglianza aritmo-geometrica, quella insomma che dice che dati due numeri positivi la loro media aritmetica \u00e8 sempre maggiore o uguale di quella geometrica, e l&#8217;uguaglianza si ha solo quando gi\u00e0 i due numeri sono uguali.<\/p>\n<p>I teorici notano che questo algoritmo \u00e8 un caso particolare del <a href=\"http:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Metodi_per_il_calcolo_della_radice_quadrata#Radici_quadrate_usando_il_metodo_iterativo_di_Newton\">metodo di Newton<\/a>, e affermano che il numero di cifre decimali corrette calcolate per la radice quadrata di un numero dovrebbe circa tendere a raddoppiare a ogni passo, il che sembra sicuramente molto meglio del calcolo manuale. Perch\u00e9 allora non si insegna questo metodo? Beh, proviamo a calcolare per esempio la radice quadrata di 42, partendo dalla stima 6 che sappiamo essere la parte intera del risultato.<\/p>\n<blockquote><p><em>s<\/em><sub>0<\/sub> = 6<br \/>\n<em>s<\/em><sub>1<\/sub> = (6+7)\/2 = 13\/2 = 6,5<br \/>\n<em>s<\/em><sub>2<\/sub> = ((13\/2)+(84\/13))\/2 = 337\/52 = 6.480769&#8230;<br \/>\n<em>s<\/em><sub>3<\/sub> = ((337\/52)+(2184\/337))\/2 = 227137\/35048 = 6.480740&#8230;<\/p><\/blockquote>\n<p>Come vedete, i numeri in gioco diventano subito grandi, e le moltiplicazioni da eseguire usano numeri grandi, mentre nel metodo standard sono solo per numeri di una cifra. Inoltre occorre una divisione finale, anch&#8217;essa complicata. Per quanto mi riguarda, insomma, il calcolo standard \u00e8 un sistema diesel (senza turbo&#8230;) che va piano ma \u00e8 affidabile. Poi, come ho scritto, non \u00e8 che io capisca perch\u00e9 non si pu\u00f2 prendere una calcolatrice!<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2012\/09\/sqrt.png?ssl=1\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2129\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2012\/09\/sqrt.png?resize=382%2C221&#038;ssl=1\" alt=\"\" width=\"382\" height=\"221\" \/><\/a><\/p>\n<p>Detto tutto questo, non \u00e8 che io sia cos\u00ec certo che i babilonesi calcolassero effettivamente cos\u00ec le radici quadrate. A quanto ne so io, a loro piacevano le radici quadrate, tanto che prendevano le tavolette di argilla e ci incidevano le tavole di radici quadrate. Insomma, lo stesso ragionamento che millenni dopo avrebbe portato a compilare le tavole dei logaritmi: qualcuno fa la fatica una volta per tutte e gli altri scopiazziano i risultati. Sono per\u00f2 certo che i greci classici non si sono mai preoccupati di simili metodi: non solo perch\u00e9 sporcavano la teoria &#8211; che ci vuole a <em>disegnare<\/em> la radice quadrata di un segmento, cio\u00e8 calcolare il medio proporzionale tra quel segmento e uno unitario? &#8211; ma perch\u00e9 dai tempi di <a href=\"https:\/\/www.ilpost.it\/mauriziocodogno\/2010\/11\/24\/ippaso-2-e-i-falsi-storici\/\">Ippaso<\/a> non ci si fidava molto di questo tipo di numeri&#8230;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Un algoritmo che forse non \u00e8 cos\u00ec vecchio come dicono, ma \u00e8 comunque interessante&#8230; almeno in teoria.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2530","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-EO","jetpack-related-posts":[{"id":2277,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/06\/12\/le-discese-ardite-e-le-risalite\/","url_meta":{"origin":2530,"position":0},"title":"Le discese ardite e le risalite","author":".mau.","date":"12\/06\/2010","format":false,"excerpt":"La produzione industriale italiana sta notevolmente risalendo; non che fosse difficile, visto quanto era scesa in basso. 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