{"id":2528,"date":"2012-09-03T06:45:37","date_gmt":"2012-09-03T04:45:37","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2528"},"modified":"2022-10-11T11:05:07","modified_gmt":"2022-10-11T09:05:07","slug":"radici-quadrate-con-carta-e-penna","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/09\/03\/radici-quadrate-con-carta-e-penna\/","title":{"rendered":"Radici quadrate con carta e penna"},"content":{"rendered":"

Sono rimasto molto stupito dal sapere che a scuola insegnano ancora a estrarre le radici quadrate a mano. Una tecnica che per quanto mi riguarda pu\u00f2 venire associata agli esercizi di calligrafia, ma che evidentemente ha ancora il suo fascino. A questo punto, tanto vale che in questo piovoso inizio di settembre, prima che la scuola inizi, vi racconti qualcosa su come si calcola una radice quadrata, e soprattutto perch\u00e9 i conti funzionano.<\/p>\n

Premessa numero uno: non mi \u00e8 ben chiaro quando nella vita di tutti i giorni serva calcolare una radice quadrata. L’unico caso che mi viene in mente \u00e8 stimare la larghezza di un’area fondamentalmente non bislunga se si conosce la sua area: per dire, se un cerchio prodotto dagli alieni in un campo di grano ha area 100 metri quadri, dire che il diametro \u00e8 di 10 metri invece che gli effettivi 11,28 circa non \u00e8 un grave errore. Peccato sia pi\u00f9 facile misurare un diametro che un’area, quindi non vale la pena di estrarre una radice quadrata. Premessa numero due: il modo di gran lunga pi\u00f9 semplice per estrarre una radice quadrata \u00e8 tirare fuori una calcolatrice. Tutte<\/b> le calcolatrici, anche quelle da cinque euro, hanno un tasto apposito per un’operazione che nella pratica non si fa mai: scegliete voi se \u00e8 per abitudine oppure c’\u00e8 una lobby dei disegnatori del simbolo √. E se la calcolatrice fosse vietata?<\/p>\n

Se la stessa richiesta ci fosse stata fatta quarant’anni fa, la risposta sarebbe potuta essere duplice. Se ci si accontentava di due, massimo tre cifre di precisione, quindi di un errore intorno all’un percento, |a radice quadrata poteva essere ricavata usando un regolo calcolatore: faceva tanto ingegnere nerd – anche se il concetto di nerd non era ancora stato inventato. Se si voleva avere cinque cifre decimali, si prendeva le tavole dei logaritmi, si cercava il logaritmo del numero, lo si dimezzava e si cercava l’antilogaritmo. In entrambi i casi la fatica mentale era minima, salvo al pi\u00f9 ricordarsi dove si erano lasciate le tavole &ndash: il regolo ovviamente stava nel taschino della camicia. La prima soluzione credo avesse qualche decennio di vita, i logaritmi tre secoli. E prima ancora? O meglio, come si pu\u00f2 calcolare una radice quadrata con una precisione arbitraria, dati tempo e risme di carta a sufficienza?<\/p>\n

L’altro modo che io conosco per calcolare la radice quadrata \u00e8 quello di fare tutta l’operazione esplicita, un po’ come si fa per la divisione. Alcuni anni fa recuperai dalle mie reminescenze di scuola media il metodo carta-e-penna che mi avevano fatto imparare a met\u00e0 degli anni 1970, e lo pubblicai nel mio sito, in un’apposita pagina<\/a>. Non avrei mai creduto che ancora oggi \u00e8 tra quelle pi\u00f9 visitate! Non riesco a capire se ci sono cos\u00ec tanti nostalgici, oppure i programmi scolastici continuano a chiedere un esercizio di cui non ho mai pienamente compreso l’utilit\u00e0.<\/p>\n

Rimando alla mia pagina<\/a> per la descrizione completa dell’algoritmo; qua mi limito a poche schematiche spiegazioni per calcolare la radice quadrata di 2000000 – mettere la virgola al posto giusto ve lo lascio come esercizio. Le cifre del radicando si dividono a coppie, partendo da destra; si prende quella o quelle pi\u00f9 a sinistra, nel nostro caso 2, e si cerca il maggiore intero il cui quadrato sia minore di tale valore, cio\u00e8 1×1. Quell’intero \u00e8 la prima cifra della radice; sotto di essa si scrive la moltiplicazione appena fatta, mentre il prodotto viene sottratto sul lato sinistro (2−1=1). Una cifra recuperata. Ora viene il bello: si abbassano due<\/b> cifre, quindi 1 diventa 100. In basso a destra si cerca ancora una moltiplicazione, la pi\u00f9 grande possibile per non superare 100. Quali sono i suoi fattori? Nel nostro caso, 2y<\/i>×y<\/i>. Il valore di y<\/i> ce lo dobbiamo cercare; 2 \u00e8 invece la somma<\/b> dei fattori scritti sopra. Scopriamo cos\u00ec che y<\/i>=4, la seconda cifra della radice; al prossimo giro avremo pertanto un prodotto del tipo 28y<\/i>×y<\/i>, visto che qua avevamo 24×4. <\/p>\n

Il mese scorso un affezionato lettore<\/a> mi ha per\u00f2 chiesto “Bello, l’algoritmo, e anche utile per costringere un giovane a fare un po’ di operazioni. Ma perch\u00e9 funziona?”. La mia risposta \u00e8 stato un candido “Non lo so mica!”: sono ragionevolmente certo che la mia professoressa delle medie non ce l’avesse detto, e da piccolo ero sufficientemente pragmatico per non curarmi di simili dettagli ma avere una fiducia sconfinata nel potere della matematica. Ora sono molto pi\u00f9 vecchio, con meno certezze, ma in compenso una conoscenza pi\u00f9 sensibile della matematica; la seconda parte della mia risposta \u00e8 stata “Per\u00f2 un’idea ce l’ho, magari mi metto con carta e penna a verificarla”. Qua sotto c’\u00e8 la spiegazione; se volete sapere come mi \u00e8 venuta in mente, tenete conto che l’abbassare due cifre per volta \u00e8 immediato – se moltiplicate un numero per 10, il suo quadrato \u00e8 moltiplicato per 100 – e che il pezzo prima della y<\/i> nei prodotti qui sopra \u00e8 (per caso? Noi crediamo di no) il doppio della radice calcolata fino a quel momento.
\n\"radice<\/a>
\nIl motivo profondo per cui l’algoritmo funziona \u00e8 che \u00e8 una generalizzazione della formula algebrica del quadrato di un binomio: (a<\/i>+b<\/i>)2<\/sup>=a<\/i>2<\/sup>+b<\/i>2<\/sup>+2ab<\/i>. La dimostrazione, tanto per cambiare, si fa per induzione; ma spero mi perdoniate se non vi faccio la dimostrazione completa ma mi limito a mostrare un passo specifico, confidando sulla vostra intelligenza… e sul fatto che il passo iniziale sia vero per costruzione. Pi\u00f9 precisamente, nell’esempio fatto sopra immaginiamo che sia vero che 14 \u00e8 il pi\u00f9 grande numero il cui quadrato sia minore di 200; che la differenza tra 200 e il quadrato di 14 sia 4, cio\u00e8 il resto ottenuto a quel punto; che la moltiplicazione in basso a destra fosse del tipo 2k<\/i>×k<\/i>, dove 2 \u00e8 il doppio della radice calcolata fino al passo precedente e k<\/i> la cifra appena ricavata, cio\u00e8 4. Cerchiamo ora il pi\u00f9 grande numero di tre cifre 14y<\/i> il cui quadrato sia minore di 20000, e vediamo che succede. <\/p>\n

Sappiamo che 1402<\/sup> + 400 = 20000, e dobbiamo trovare il maggiore y<\/i> per cui (140+y<\/i>)2<\/sup> ≤ 20000. Esplodendo il binomio, abbiamo 1402<\/sup>+y<\/i>2<\/sup>+2×140×y<\/i>. Pertanto dobbiamo trovare il maggiore y<\/i> per cui y<\/i>2<\/sup>+2×140×y<\/i> = y<\/i>(y<\/i>+2×140) ≤ 400. A parte l’ordine dei fattori, il prodotto \u00e8 esattamente quello che abbiamo calcolato al passo successivo dell’operazione manuale, cos\u00ec come il resto. Possiamo pertanto andare avanti passo dopo passo e ottenere il risultato della radice quadrata. Tutto qua, anche se \u00e8 facile vedere le cose dopo che sono mostrate nero su bianco!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Perch\u00e9 mai il metodo di calcolo manuale della radice quadrata funziona?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2528","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-EM","jetpack-related-posts":[{"id":438,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/10\/21\/centenario-pillole\/","url_meta":{"origin":2528,"position":0},"title":"Centenario [Pillole]","author":".mau.","date":"21\/10\/2014","format":false,"excerpt":"Martin Gardner nacque cent'anni fa","rel":"","context":"In \"anniversari\"","block_context":{"text":"anniversari","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/anniversari\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2450,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/16\/esercizi-o-problemi\/","url_meta":{"origin":2528,"position":1},"title":"Esercizi o problemi?","author":".mau.","date":"16\/09\/2011","format":false,"excerpt":"Sappiamo che non esiste una via regia per la matematica, e che bisogna mettersi a faticare per ottenere dei risultati. 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