{"id":2524,"date":"2012-08-06T16:58:14","date_gmt":"2012-08-06T14:58:14","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2524"},"modified":"2022-10-11T11:03:00","modified_gmt":"2022-10-11T09:03:00","slug":"fibonacci-subprime","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/08\/06\/fibonacci-subprime\/","title":{"rendered":"Fibonacci Subprime"},"content":{"rendered":"

Non preoccupatevi: non sto pensando di dedicarmi all’economia. Non solo non ne capisco nulla, ma a differenza di molti sedicenti esperti so di non capirne nulla e quindi evito di trattare questo tipo di argomenti. In questo caso il “subprime” non si riferisce ai mutui spazzatura, quanto all’eliminazione di numeri primi dalla successione di Fibonacci… ma \u00e8 meglio iniziare da capo.<\/p>\n

La successione di Fibonacci la conoscete penso tutti: ogni numero \u00e8 la somma dei due precedenti. La successione canonica inizia con (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … Il primo zero l’ho messo tra parentesi perch\u00e9 \u00e8 lo zeresimo termine della successione, e quindi \u00e8 stata un’aggiunta moderna. Il buon Leonardo Pisano ha s\u00ec descritto la successione, ma mica immaginava l’esistenza dello zero! La successione di Fibonacci pu\u00f2 anche essere generalizzata partendo da due numeri diversi da 1 e 1, oppure 0 e 1; per esempio, quella che parte con 1 e 3 \u00e8 detta successione di Lucas. Per\u00f2 tutte queste successioni sono fondamentalmente equivalenti, nel senso che crescono all’infinito e il rapporto tra due termini successivi di una qualunque delle successioni tende sempre al numero aureo \u03c6.<\/p>\n

Beh, qualche tempo fa John Horton Conway e Richard Guy erano in un aereo: durante il volo, immagino perch\u00e9 il film che proiettavano non era chiss\u00e0 cosa, il primo ha mostrato al secondo una variante della successione di Fibonacci. Si continuano a sommare i due ultimi numeri per ottenere il seguente: per\u00f2 se il risultato della somma \u00e8 un numero composto lo si riduce dividendolo per il suo pi\u00f9 piccolo fattore primo (ecco perch\u00e9 “subprime”!). La successione inizia sempre con (0), 1, 1, 2, 3, 5; la somma degli ultimi due numeri \u00e8 8 che per definizione viene ridotto a 4. Proseguendo, 5+4=9 d\u00e0 3, 4+3=7 non si tocca, 3+7=10 torna ad essere 5, ma non siamo ancora arrivati a un ciclo, visto che il numero precedente \u00e8 diverso dal caso precedente. Si continua poi con 6, 11 e cos\u00ec via. Cosa succeder\u00e0 all’infinito?<\/p>\n

Tanya Khovanova ha parlato di questa successione nel suo blog<\/a>, e ha scritto un papero<\/a> con Guy e Julian Salazar. L’articolo \u00e8 comprensibile, non preoccupatevi! I risultati ottenuti non sono certo definitivi, ma sono comunque interessanti. Iniziando con le cose semplici, gli autori scoprono che la successione Fibonacci subprime entra alla fine in un ciclo. Ecco come continua la successione:<\/p>\n

0 1 1 2 3 5 4 3 7
\n5 6 11 17 14 31 15 23 19
\n21 20 41 61 51 56 107 163 135
\n149 142 97 239 168 37 41 39 40
\n79 17 48 13 61 37 49 43 46<\/strong>
\n89 45 67 56 41 97 69 83 76<\/strong>
\n53 43<\/strong> 48 13 61 37 49 43…<\/p><\/blockquote>\n

Come vedete, i valori crescono e diminuiscono in maniera pseudocasuale, fino a che si arriva alla ripetizione della coppia (48, 13), e da l\u00ec per definizione i valori continueranno a ripetersi. Abbiamo dunque un ciclo di 18 elementi, e la stessa cosa capita per altre coppie iniziali, come (2, 1), (3, 9), (13, 11)… Per\u00f2 non capita sempre cos\u00ec!<\/p>\n

Se vi ricordate di quando ho parlato della successione 3n<\/em>+1<\/a>, \u00e8 immediato vedere che possono esserci solo due casi possibili per un certa configurazione iniziale, cio\u00e8 una coppia di numeri di partenza: i valori crescono all’infinito oppure si entra in un ciclo. Se volete diventare un pochino famosi nella comunit\u00e0 dei giochi matematici potreste dimostrare che il primo caso non si pu\u00f2 mai dare: euristicamente gli autori (e anch’io…) siamo convinti sia cos\u00ec, ma non \u00e8 detto che sia vero. Ma il ciclo di 18 elementi evidenziato sopra \u00e8 l’unico possibile? Beh, no. Ci sono i “cicli banali”: se partiamo dalla coppia (n<\/em>, n<\/em>) si continua a restare fermi a n<\/em>. Ma un Vero Matematico non \u00e8 mai troppo interessato ai risultati banali, e prova a vedere se riesce a dimostrare qualcosa di pi\u00f9 generale e interessante.<\/p>\n

\u00c8 immediato notare che se i primi due numeri sono entrambi positivi o entrambi negativi, tutti gli altri lo saranno. \u00c8 facile vedere che se i due numeri iniziali sono di segno opposto, prima o poi si arriver\u00e0 comunque ad avere due valori consecutivi dello stesso segno: volete provare a dimostrarlo? Il passo successivo che viene in mente a un matematico \u00e8 vedere la parit\u00e0<\/strong> dei numeri della successione. Scriviamo P per indicare un numero pari e D per un numero dispari. \u00c8 chiaro che dopo una coppia (D,P) il successivo \u00e8 D, e anche dopo una coppia (P,D) il successivo \u00e8 D. Cosa succede nel caso (D,D) e (P,P)? Possiamo avere un numero pari o dispari, come esemplificato dai casi (5,7), (3,7), (6,10), (6,8). Per\u00f2 \u00e8 possibile dimostrare che non si pu\u00f2 avere una successione infinita di valori pari (di nuovo, provate a dimostrarlo…) Questo significa che \u2013 tranne al pi\u00f9 nella parte iniziale della successione oppure in una successione banale \u2013 non ci saranno mai due numeri pari consecutivi; come corollario pratico, si possono strutturare le varie successioni partendo dalla prima coppia di numeri dispari consecutivi preceduti da un numero pari (gli autori parlano di nodo<\/strong>).<\/p>\n

Il nodo (13,61) inizia un ciclo di lunghezza 18: esistono per\u00f2 altri cicli, come quello di lunghezza 18 che parte da (23,27), uno di lunghezza 56 che parte da (89,433), e uno di lunghezza ben 136 che parte da (11,9), che \u00e8 comunque raggiungibile gi\u00e0 partendo da (1,4), insomma quasi dall’abc delle possibili successioni. Ci sono cicli pi\u00f9 corti? Usando il computer e provando tutte le coppie sotto il milione, sono stati trovati anche alcuni cicli pi\u00f9 rari: uno di lunghezza 11 che parte da (37,199) e uno di lunghezza 10 che parte da (127,509). Non si sa se ne esistano di pi\u00f9 corti: \u00e8 per\u00f2 stato dimostrato che non pu\u00f2 esserci un ciclo con un solo nodo, quindi con numeri DDD..DDP, e quindi un ciclo deve essere lungo almeno 6 numeri, e in tal caso essere del tipo DDPDDP. Dimostrare che non esistono cicli di lunghezza 3 dovrebbe essere molto pi\u00f9 semplice, almeno penso: confesso per\u00f2 che non ho ancora iniziato a lavorarci su seriamente. Per chi vuole divertirsi a provarlo, la dimostrazione pi\u00f9 generale a cui accennavo sopra usa il concetto di firma<\/strong> (“signature”), cio\u00e8 il fattore per cui viene divisa la somma dei due numeri precedenti per ricavare il seguente. Tra l’altro non si sa neppure se all’interno di un ciclo la firma abbia un valore massimo: il fatto che nel ciclo di lunghezza 10 ci sia una firma pari a 29 \u00e8 piuttosto strano…<\/p>\n

Come avrete capito, il campo \u00e8 relativamente nuovo, e gli appassionati possono provare a lavorarci su: questo \u00e8 uno dei campi in cui il computer non solo pu\u00f2 dare degli indizi ma anche ricavare nuovi risultati. Qualcuno ci vuole tentare?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Una variante moderna di una successione ben nota. C’entra Conway, quindi \u00e8 sicuramente interessante…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2524","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-EI","jetpack-related-posts":[{"id":619,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/09\/07\/che-cose-il-caso\/","url_meta":{"origin":2524,"position":0},"title":"Che cos’\u00e8 il caso?","author":".mau.","date":"07\/09\/2015","format":false,"excerpt":"Non \u00e8 facile definire cos'\u00e8 una sequenza casuale, perch\u00e9 non possiamo mai essere certi di avere una piena conoscenza di quello che c'\u00e8 dietro di essa.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":607,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/08\/22\/soluzioni-ai-quizzini-di-ferragosto-2015\/","url_meta":{"origin":2524,"position":1},"title":"Soluzioni ai quizzini di Ferragosto 2015","author":".mau.","date":"22\/08\/2015","format":false,"excerpt":"Ecco le soluzioni ai quizzini della scorsa settimana! 1. 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