{"id":2518,"date":"2012-07-17T13:32:32","date_gmt":"2012-07-17T11:32:32","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2518"},"modified":"2022-10-11T11:00:01","modified_gmt":"2022-10-11T09:00:01","slug":"quanto-fa-00","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/07\/17\/quanto-fa-00\/","title":{"rendered":"Quanto fa 0^0?"},"content":{"rendered":"

Ci sono domande che capitano sovente, e se devo essere sincero non ho mai capito bene il perch\u00e9: in fin dei conti si vive tranquillamente lo stesso pur non sapendo quale sia la risposta, e non si pu\u00f2 nemmeno dire che la vita migliori<\/em> una volta che la risposta \u00e8 nota. Oggi riprendo una di queste domande, approcciata in maniera altamente sperimentale (e ad ampio raggio!) da Juhan<\/a>: quanto fa zero alla zero? La risposta monoverbica \u00e8 “indeterminato”; i curiosi possono continuare a leggere.<\/p>\n

Inizio subito a togliere a qualcuno una certezza: il fatto che un’operazione matematica sia ben formata non implica affatto che debba avere un risultato. L’esempio pi\u00f9 banale \u00e8 la divisione per zero; non esiste alcun numero reale x<\/em> tale che 1\/0=x<\/em>, e viceversa qualunque<\/strong> numero y<\/em> \u00e8 la “soluzione” dell’equazione 0\/0=y<\/em>. Se ci pensate un attimo non \u00e8 che questo secondo caso sia cos\u00ec migliore del primo: se un qualunque numero va bene, di informazione non ne hai punta e quindi stai facendo un lavoro inutile. Ma torniamo alla nostra equazione iniziale 0^0; o se non vi piacciono le faccine, 00<\/sup>.<\/p>\n

Da tre secoli abbondanti il modo che i matematici hanno per trovare il risultato di un’equazione pi\u00f9 o meno ignota \u00e8 vedere cosa succede usando valori quasi uguali a quelli dati, partendo dal presupposto che se anche i risultati sono quasi uguali allora possiamo fidarci del risultato. In realt\u00e0 i matematici hanno scoperto pi\u00f9 di 150 anni fa che la cosa non \u00e8 che funzioni cos\u00ec bene, ma per il momento facciamo finta di nulla. Noi in fin dei conti conosciamo alcune formule sugli esponenziali: per esempio sappiamo che x<\/em>0<\/sup>=1 per qualunque valore diverso da zero di x<\/em>, per l’ottima ragione che abbiamo definito<\/strong> (notare il termine) x<\/em>0<\/sup> = x<\/em>1<\/sup>\/x<\/em>1<\/sup> in modo che valesse in generale la formula x<\/em>a<\/em><\/sup>\/x<\/em>b<\/em><\/sup>=x<\/em>a<\/em>\u2212b<\/em><\/sup>. Pertanto, se la funzione x<\/em>0<\/sup> vale sempre 1 quando il suo valore \u00e8 definito, si direbbe naturale estendere tale valore anche quando x<\/em>=0.<\/p>\n

Per\u00f2 qualcun altro potrebbe fare un ragionamento del tutto simile e dire che sappiamo che 0y<\/em><\/sup>=0 per qualunque valore diverso da zero di y<\/em>, per l’ottima ragione che vale per gli interi maggiori di uno \u2013 moltiplicate quanto volete zero per s\u00e9 stesso e rimarr\u00e0 sempre zero \u2013 e per le regole di cui sopra la stessa cosa vale per tutti i razionali non nulli; a questo punto andare sui reali \u00e8 (si fa per dire) immediato. Pertanto, se la funzione 0y<\/em><\/sup> vale sempre 0 quando il suo valore \u00e8 definito, si direbbe naturale estendere tale valore anche quando y<\/em>=0. Oops: qualcosa non funziona: 00<\/sup> non pu\u00f2 valere contemporaneamente 0 e 1!<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Qui sopra potete vedere il risultato, calcolato con Wolfram Alpha, di un approccio apparentemente pi\u00f9 sofisticato: vedere cosa succede alla funzione x<\/em>x<\/em><\/sup> quando x<\/em> si avvicina a zero. Per i valori negativi di x<\/em> si passa ai numeri complessi, ma la cosa non \u00e8 che ci importi pi\u00f9 di tanto: limitiamoci a guardare la riga azzurra e vediamo che 1 si direbbe proprio il candidato migliore per il valore della funzione in x<\/em>=0. Tutti d’accordo? Spero di no. In effetti lo stesso Wolfram Alpha, se gli si d\u00e0 in ingresso “0^0”, essendo molto saggio risponde “(indeterminate)”; e in questo caso non fidatevi di Google che d\u00e0 1.<\/p>\n

Io in definitiva concordo sulla prima frase della risposta data a Juhan su Quora (!) da Anders Kaseorg, che scrive \u00abIt merely means that exponentiation cannot be a continuous function in any neighborhood of that value.\u00bb (“Significa solo che l’elevazione a potenza x<\/em>y<\/em><\/sup> non pu\u00f2 essere una funzione continua in nessun intorno del valore (0,0)”). Sono meno d’accordo sul resto della sua risposta, vale a dire \u00abAnd so we assign 0^0 the value that\u2019s useful, which is 1. Why is that useful? Because it lets us manipulate exponentials without special cases.\u00bb (“E allora assegniamo a 0^0 il valore pi\u00f9 utile, cio\u00e8 1. Perch\u00e9 \u00e8 utile? Perch\u00e9 ci permette di manipolare gli esponenziali senza casi speciali”). No, non \u00e8 vero: abbiamo sempre il caso speciale di 0y<\/em><\/sup> che varrebbe 0 tranne nel caso in cui y<\/em>=0<\/strong>. Prendiamo il coraggio a due mani, e accettiamo il fatto che la risposta non c’\u00e8. Conoscete Art Gallery<\/a> di Maurits Cornelis Escher? L’artista aveva lo stesso problema: un punto dove la funzione “disegno” non poteva essere continua. Escher l’ha risolto mettendo la sua firma in quel punto, che cos\u00ec rimane sfumato.<\/p>\n

In matematica le definizioni e gli assiomi si scelgono per la loro utilit\u00e0, non perch\u00e9 sembrano pi\u00f9 belli. Fino a tutto il XIX secolo la definizione di numero primo comprendeva anche 1; poi si \u00e8 pensato che il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica (“ogni numero naturale positivo ammette un’unica fattorizzazione in fattori primi”) era cos\u00ec fondamentale che sarebbe stato meglio togliere la postilla “eccetto per un numero a piacere di fattori 1”, e cos\u00ec 1 ha perso il proprio status… curiosamente riavvicinandosi al concetto degli antichi greci per cui 1 non era un numero ma la base per costruire i numeri. Siete informatici e volete lasciare 0^0=1? Poi non lamentatevi se in qualche caso particolare il vostro programma non funziona. Che poi in informatica il valore NaN<\/tt> \u00e8 cos\u00ec carino…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

No, 0^0 non \u00e8 una faccina con gli occhiali ma un’operazione matematica. Per\u00f2 non \u00e8 che tutte le operazioni matematiche siano sensate…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2518","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-EC","jetpack-related-posts":[{"id":1485,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/06\/10\/interpretabilita\/","url_meta":{"origin":2518,"position":0},"title":"Interpretabilit\u00e0","author":".mau.","date":"10\/06\/2019","format":false,"excerpt":"Serve o non serve essere in grado di interpretare il risultato di un algoritmo di machine learning? 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