{"id":2505,"date":"2012-05-29T05:30:46","date_gmt":"2012-05-29T03:30:46","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2505"},"modified":"2022-10-11T10:54:17","modified_gmt":"2022-10-11T08:54:17","slug":"il-paradosso-di-richard","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/05\/29\/il-paradosso-di-richard\/","title":{"rendered":"Il paradosso di Richard"},"content":{"rendered":"<p>Ho gi\u00e0 parlato a suo tempo del <a href=\"https:\/\/www.ilpost.it\/mauriziocodogno\/2010\/05\/19\/il-paradosso-di-berry\/\">paradosso di Berry<\/a>: in poche parole, se parliamo del pi\u00f9 piccolo numero che non si pu\u00f2 definire in meno di quindici parole, allora lo possiamo <b>definire<\/b> come &#8220;il pi\u00f9 piccolo numero che non si pu\u00f2 definire in meno di quindici parole&#8221;, e quindi in sole quattordici parole. A suo tempo, a dire il vero, non avevo completato la dimostrazione del paradosso: di per s\u00e9, quella contraddizione dice semplicemente che non pu\u00f2 esistere quel numero, ma non vieta di giungere alla conclusione &#8220;tutti i numeri possono essre definiti in meno di quindici parole&#8221;. Lascio al lettore il compito di completare la dimostrazione: pu\u00f2 essere utile cambiare formulazione e parlare di lettere, non di parole.<\/p>\n<p>Ma l&#8217;inizio del XX secolo ha visto molti altri esempi di antinomie, che mostravano da un lato che la teoria degli insiemi stava prendendo piede nella comunit\u00e0 matematica e dall&#8217;altro che non \u00e8 che fosse ancora cos\u00ec ben compresa. Ecco un altro esempio, che prende il nome dal matematico francese Jules Richard che lo present\u00f2 nel 1905.<\/p>\n<p><!--more--> Il guaio del paradosso di Berry \u00e8 a prima vista semplice: la propriet\u00e0 &#8220;essere definito in meno di quindici parole&#8221; \u00e8 lessicale e non numerica, quindi stiamo mischiando due piani diversi. Nema problema, dice Richard: prendiamo un linguaggio &#8211; immagino lui abbia usato il francese, io sceglier\u00f2 l&#8217;italiano&#8221; in cui si possano formulare e definire le <b>propriet\u00e0 puramente aritmetiche<\/b> dei numeri interi. Avremo la necessit\u00e0 di definire alcune &#8220;propriet\u00e0 postulate&#8221;, che cio\u00e8 non possono essere definite a partire da altre propriet\u00e0 e dovremo intuire in altro modo. Chess\u00f2, &#8220;un intero \u00e8 divisibile per un altro&#8221;, oppure &#8220;un intero \u00e8 il prodotto di due interi&#8221;, o ancora &#8220;due numeri di una certa classe sono consecutivi se non ce n&#8217;\u00e8 nessun altro di quella classe compreso tra essi&#8221;. Altre propriet\u00e0 possono essere invece ricavate: per esempio si pu\u00f2 definire un numero dispari &#8220;un intero che non \u00e8 divisibile per due&#8221;, e un quadrato &#8220;il risultato di un numero moltiplicato per s\u00e9 stesso&#8221;, oppure &#8220;la somma di numeri dispari consecutivi a partire da 1&#8221;.<\/p>\n<p>Ogni definizione che possiamo scrivere \u00e8 composta da un numero finito di parole, e pertanto da un numero finito di lettere dell&#8217;alfabeto, dove tre le &#8220;lettere&#8221; consideriamo anche lo spazio e i segni di interpunzione. Questo significa che possiamo <b>ordinare<\/b> le definizioni. Per la precisione, una definizione A precede nell&#8217;ordine una definizione B  se A ha meno lettere di B, oppure se hanno lo stesso numero di lettere e A precede B nell&#8217;ordine alfabetico. Ma soprattutto, le definizioni possibili sono una quantit\u00e0 numerabile, avendo tutte un numero finito di lettere; quindi possiamo associare ad esse un numero intero, dalla prima che avr\u00e0 associato 1 in poi. Questo significa che a volte potr\u00e0 capitare che a una definizione venga associato un numero che risponde alla definizione stessa: per esempio, se il numero d&#8217;ordine della definizione &#8220;un intero che non \u00e8 divisibile per due&#8221; \u00e8 65535 siamo in questo caso, mentre se il numero d&#8217;ordine fosse stato 42 non ci siamo. Definiamo ora <i>numero richardiano<\/i> un numero N che non risponde alla definizione numero N. Questa \u00e8 indubbiamente una definizione numerica, giusto? Quindi avr\u00e0 un suo numero d&#8217;ordine<i>r<\/i> nel nostro listone. Ormai siete esperti di paradossi, e avete gi\u00e0 capito qual \u00e8 la mossa successiva: chiedersi se <i>r<\/i> \u00e8 o no richardiano. Se lo fosse, allora per definizione non avrebbe la propriet\u00e0 di essere richardiano, ma se non lo fosse allora lo sarebbe! <\/p>\n<p>Dov&#8217;\u00e8 il trucco? Semplice: la propriet\u00e0 di essere richardiano \u00e8 s\u00ec numerica, ma non \u00e8 una vera propriet\u00e0 aritmetica bens\u00ec una metapropriet\u00e0, visto che per definirla abbiamo dovuto aggiungere alle definizioni aritmetiche anche un altro tipo di definizioni, quelle lessicali e di ordinamento alfabetico. Pertanto non \u00e8 vero che \u00e8 nel nostro listone, e il paradosso immediatamente svapora. Ma non prendetevela troppo con questo anticlimax: il paradosso di Richard \u00e8 stato il punto di partenza che G\u00f6del ha usato per arrivare al suo teorema di incompletezza, riuscendo a trovare un modo per rappresentare le propriet\u00e0 metamatematiche nel linguaggio matematico; se andate a rivedere <a href=\"https:\/\/www.ilpost.it\/mauriziocodogno\/2011\/12\/20\/il-primo-teorema-di-incompletezza-di-godel\/\">la dimostrazione del teorema<\/a>, vi accorgerete di come la prima parte serve appunto ad avere un ambiente matematico ben definito, mentre la seconda ricorda la costruzione del paradosso di Richard. Visto? Anche G\u00f6del non parte dal nulla!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Un altro paradosso del secolo scorso sull&#8217;autoreferenzialit\u00e0 dei numeri, che per\u00f2 ha avuto una svolta inaspettata.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2505","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Ep","jetpack-related-posts":[{"id":2428,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/09\/il-paradosso-di-ross-littlewood\/","url_meta":{"origin":2505,"position":0},"title":"Il paradosso di Ross-Littlewood","author":".mau.","date":"09\/08\/2011","format":false,"excerpt":"L'infinito \u00e8 una brutta bestia, su questo credo siano in molti a essere d'accordo. 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