{"id":2503,"date":"2012-05-24T16:24:47","date_gmt":"2012-05-24T14:24:47","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2503"},"modified":"2022-10-11T10:47:20","modified_gmt":"2022-10-11T08:47:20","slug":"variazioni-sul-tema-di-una-successione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/05\/24\/variazioni-sul-tema-di-una-successione\/","title":{"rendered":"Variazioni sul tema di una successione"},"content":{"rendered":"

Qualche mese fa una mia amica ha postato su Facebook questa successione:<\/p>\n

1
\n11
\n21
\n1211
\n3112
\n…<\/p><\/blockquote>\n

Scommetto che parecchi di voi avranno subito detto “che noia, \u00e8 una successione vecchia come il cucco!”, salvo restare sorpresi dall’ultima riga, che non era proprio quella prevista. Per gli altri, forse \u00e8 meglio fare un rapido ripasso.<\/p>\n

La successione per cos\u00ec dire “classica” ha come primi suoi termini 1, 11, 21, 1211 ma poi continua con 111221, 312211, 13112221 … Avete capito qual \u00e8 la regola che la produce? \u00c8 semplice: ogni riga \u00e8 la riga precedente “pronunciata e contata”. La prima riga \u00e8 1, quindi c’\u00e8 un uno; la seconda sar\u00e0 cos\u00ec 11, cio\u00e8 “due uno”; si passa cos\u00ec a 21, vale a dire “un due, un uno”; 1211, “un uno, un due, due uno”; 111221 e cos\u00ec via.<\/p>\n

Per quanto stupida possa sembrare la regola di composizione, essa \u00e8 assolutamente deterministica, e un matematico non trova nulla di strano a studiare la successione, e magari generalizzarla. La prima cosa che salta agli occhi \u00e8 che una volta che appare un numero questo non pu\u00f2 pi\u00f9 sparire, visto che sar\u00e0 sempre pronunciato e quindi contato. Una domanda sorge ora spontanea: ma entreranno man mano a far parte della successione numeri sempre maggiori? La risposta \u00e8 no: il 3 \u00e8 il numero maggiore che troverete nella successione. Se volete provare a dimostrarlo da soli, smettete di leggere.<\/p>\n

Supponiamo infatti che a un certo punto della successione ci sia un numero al cui interno ci sia una cifra pari o superiore a 4. Questo significa che al passo prima della successione ci devono essere almeno quattro numeri uguali in fila: …nnnn<\/i>… Ma questo \u00e8 impossibile, perch\u00e9 o il primo e il terzo, oppure il secondo e quarto dei numeri, saranno identici: ma questo a sua volta significa che al passo precedente la successione non \u00e8 stata letta correttamente. Non si pu\u00f2 infatti avere “due uno, un uno”, perch\u00e9 si sarebbe dovuto scrivere “tre uno”…<\/p>\n

Una seconda domanda che ci si pu\u00f2 fare vedendo i primi termini della successione \u00e8 se i vari termini sono sempre pi\u00f9 lunghi, e di quanto lo sono. Io non so esattamente come dimostrarlo; per\u00f2 so che John Conway (ho gi\u00e0 parlato di lui<\/a>, ricordate?) ha dimostrato che il rapporto del numero di cifre tra due termini successivi della successione tende a un valore prefissato, detto costante di Conway<\/b>, noto come \u03bb ~= 1.303577269. Per i curiosoni, questo numero \u00e8 algebrico, cio\u00e8 \u00e8 la soluzione di un’equazione polinomiale a coefficienti interi; per la precisione, \u00e8 l’unica soluzione positiva della semplice equazione qui sotto (copiata da Wikipedia<\/a>):<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

\"\"<\/a> Il disegno qui a fianco, anch’esso tratto da Wikipedia, mostra tutte le radici di quel polinomio. Non serve assolutamente a nulla, anzi serve ancora a meno di tutte le altre cose scritte in questo post, ma aggiunge una punta di allegria… almeno spero. <\/p>\n

La costante di Conway non si chiama costante a caso: partendo da una qualunque stringa iniziale – per esempio 42 che ai passi successivi d\u00e0 1412, 11141112, 31143112, 132114132112, … – il rapporto della lunghezza di due termini successivi tende ad essa. C’\u00e8 solo una singola stringa di partenza che \u00e8 la proverbiale eccezione alla regola. Sapete trovarla?<\/p>\n

Convay ha studiato attentamente la successione di cui sopra. Magari una volta o l’altra vi parler\u00f2 del decadimento audioattivo; i curiosoni possono scoprire di che si tratta da Roberto Zanasi<\/a>. Ma torniamo alla nostra successione iniziale: avete riconosciuto la regola che la genera? Anche questa regola non \u00e8 cos\u00ec difficile: \u00e8 sempre della serie “leggi e scrivi”, ma si prendono insieme tutti gli elementi uguali. Cos\u00ec da 1211 si ottiene 3112; si inizia da 1 e non da 2 perch\u00e9 il primo elemento trovato partendo da sinistra \u00e8 un 1. Questa nuova successione dopo 3112 ha 132112, 311322, 232122, 421311… Toh, a differenza del caso classico stavolta siamo riusciti a ottenere un 4. Inoltre \u00e8 chiaro che la lunghezza dei numeri non aumenta pi\u00f9 di tanto, visto che se abbiamo i numeri fino a k<\/i> al passo successivo avremo un numero di 2k<\/i> cifre. Arriveremo insomma ad avere numeri sempre maggiori?<\/p>\n

La risposta \u00e8 no. La nostra successione continua con 14123113, 41141223, 24312213, 32142321, 23322114, 32232114, 23322114, 32232114, 23322114, … Oops! sono finito in un loop. Come vedete, questa nuova successione termina in un ciclo di ordine 2, e insomma \u00e8 molto meno interessante di quella originaria. Non sempre i risultati matematici sono interessanti persino per un Vero Matematico, mi spiace dirlo. <\/p>\n

E se provassimo con la successione “leggi e scrivi in ordine”, che inizia con 1, 11, 21, 1112, 3112? In questo caso i termini sono tutti della forma x1y2z3w4…<\/i>. Beh, i conti si fanno in fretta: si prosegue con 211213, 312213, 212223, 114213, 31121314, 41122314, 31221324, 21322314, 21322314, … Stavolta abbiamo un punto fisso<\/b>, o se preferite un loop di lunghezza 1; un altro risultato un po’ deludente. Commento? Pensate alla fatica che fa un matematico per trovare qualcosa di divertente – almeno dal suo punto di vista –. La stessa cosa, se vi ricordate, capit\u00f2 con il problema 3n<\/i>+1; cambiare la formula non dava i risultati sperati. Lo stesso capita con un’altra creazione di Conway, Life: la scelta delle regole di evoluzione non \u00e8 stata fatta a caso, ma ha richiesto un attento lavoro. Anche la creazione di giochi matematici \u00e8 per l’un percento ispirazione e per il 99% traspirazione: attenti alle vostre ascelle!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Leggi e scrivi… in maniera non standard<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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