{"id":2493,"date":"2012-04-23T11:37:54","date_gmt":"2012-04-23T09:37:54","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2493"},"modified":"2022-10-11T10:42:24","modified_gmt":"2022-10-11T08:42:24","slug":"un-computer-in-base-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/04\/23\/un-computer-in-base-3\/","title":{"rendered":"Un computer in base 3"},"content":{"rendered":"

Noi contiamo in base 10. Dopo il 9, smettiamo di inventare nuovi simboli e aggiungiamo una nuova cifra al numero, che diventa per l’appunto 10. Non c’\u00e8 nessuna ragione speciale per avere dieci simboli, non di pi\u00f9 n\u00e9 di meno: probabilmente tutto dipende dal fatto che abbiamo dieci dita. C’\u00e8 chi propugna una base 12, perch\u00e9 in questo modo sarebbe pi\u00f9 semplice dividere l’unit\u00e0 in parti uguali: ma noi umani siamo troppo abituati a contare cos\u00ec per fare un cambiamento di questo tipo. Tutt’altra cosa per i computer, per\u00f2!<\/p>\n

Innanzitutto un rapido ripasso su cosa significa scrivere un numero in base b<\/i>. Se abbiamo il numero cdefgb<\/sub><\/i>, noi dobbiamo leggerlo come c·b<\/i>4<\/sup> + d·b<\/i>3<\/sup> + e·b<\/i>2<\/sup> + f·b<\/i> + g<\/i>; insomma se procediamo da destra a sinistra iniziando a contare da zero dobbiamo moltiplicare la i<\/i>-esima cifra per la i<\/i>-esima potenza della base. Detto cos\u00ec sembra inutilmente complicato, lo so: ma ci servir\u00e0 in seguito. La seconda cosa che serve \u00e8 la tavola pitagorica: abbiamo due tabelle di dimensione b<\/i>×b<\/i>, una per la somma e una per la moltiplicazione.<\/p>\n

I primissimi computer, quelli ancora elettromeccanici, lavoravano in base 10 per abitudine e perch\u00e9 comunque era necessario interfacciarsi con i “calcolatori”, nel senso di “persone che fanno i calcoli”. Quando si \u00e8 passati ai primi calcolatori elettronici le cose sono mutate: per un computer infatti la base pi\u00f9 naturale era la base 2, perch\u00e9 la si pu\u00f2 mettere in campo con un circuito on\/off che ha appunto due valori. Ci penser\u00e0 poi il computer stesso a convertire tra base 2 e base 10: \u00e8 un compito stupido, ma proprio per questo il computer \u00e8 adattissimo a farlo. Le tavole pitagoriche per la base 2 sono banali, e le vediamo qui sotto.<\/p>\n

\"tabelline<\/a>
\nQuello che non \u00e8 probabilmente noto \u00e8 che all’inizio della storia dei computer erano state proposte anche altre basi, proprio come erano state proposte altre dimensioni per il byte: oggi lavoriamo in esadecimale (un byte \u00e8 un ottetto, formato da due gruppi di quattro bit) ma quando ero un giovane universitario ho usato un PDP 11\/34 che lavorava in ottale, con l’unit\u00e0 di base chiamata nibble<\/i> che era un nonetto formato da tre gruppi di tre bit. <\/p>\n

Non credo che ci fosse una correlazione, ma all’inizio dello sviluppo dei computer, oltre che la base 10 e la poi vincente base 2, era stata proposta e usata anche la base 3<\/b>. La scelta era dettata da considerazioni fisiche, perch\u00e9 si pu\u00f2 immaginare che un circuito di memorizzazione possa avere una tensione positiva, negativa oppure nulla. C’era per\u00f2 una particolarit\u00e0 che se non conoscete non potreste mai indovinare: quei computer non usavano una base 3 standard, ma una sua variante, la base 3 bilanciata<\/b> che usa come cifre 0, 1 e -1 (che scriver\u00f2 M per usare un solo carattere). A ben pensarci, \u00e8 anche logico: se abbiamo tensioni +,−,0 perch\u00e9 dobbiamo rimapparle in 0, 1, 2?<\/p>\n

L’aritmetica con la base 3 bilanciata presenta alcune peculiarit\u00e0 a cui bisogna abituarsi. Il numero successivo a 1 \u00e8 il numero a due cifre 1M3<\/i>b<\/sub>; se prendete la definizione data sopra per computare un numero in base b<\/i>, potete subito verificare che in effetti 1M3<\/i>b<\/sub> = 3+(-1) = 2. Ecco la lista dei numeri da 0 a 10 in base 3 bilanciata, con tra parentesi il numero corrispondente in base 10, seguita dalle tavole pitagoriche: per comodit\u00e0 non user\u00f2 pi\u00f9 l’indice 3<\/i>b.<\/p>\n

    0 (0),
\n    1 (1),
\n    1M (2),
\n    10 (3),
\n    11 (4),
\n    1MM (5),
\n    1M0 (6),
\n    1M1 (7),
\n    10M (8),
\n    100 (9),
\n    101 (10)<\/tt>
\n\"tabelline<\/a>
\nDa un punto di vista teorico la base 3, bilanciata o no che sia, sarebbe quella ottimale, perch\u00e9 \u00e8 il miglior compromesso tra numero di simboli richiesto e lunghezza dei numeri tipicamente usati (anche se… ma magari ne parliamo un’altra volta). La versione bilanciata della base semplifica anche le tavole pitagoriche, soprattutto quella della moltiplicazione che \u00e8 sempre la peggiore da implementare; come avete visto, anch’esse sono simmetriche. Purtroppo per\u00f2 la tecnologia negli anni 1950 non riusciva a creare circuiti flip-flop-flap abbastanza affidabili, e oggi ricominciare da capo e creare nuovi componenti di questo tipo \u00e8 troppo costoso per essere pratico. Restano comunque gli usi teorici della base: scrivere un numero in base tre bilanciata permette di risolvere immediatamente il problema dei pesi di Bachet.<\/p>\n

Abbiamo una bilancia a due piatti, e dobbiamo pesare un oggetto: qual \u00e8 l’insieme di pesi ottimale per essere in grado di pesare oggetti da 1 a un dato numero n<\/i>? La risposta \u00e8 “si usa l’insieme di pesi di 1, 3, 9, 27… grammi”. Un oggetto pesante 17 grammi, infatti, pu\u00f2 essere pesato mettendolo su un piatto insieme ai pesi da uno e nove grammi e ponendo sull’altro piatto il peso da 27 grammi. Ma 17 in base 3 bilanciata – il nome significher\u00e0 pure qualcosa, no? – si scrive 1M0M: quindi il nostro oggetto sta insieme ai pesi corrispondenti alla cifra M nella rappresentazione, mentre quelli corrispondenti alla cifra 1 stanno dall’altra parte e quelli con lo 0 si lasciano da parte. Visto? teoria e pratica si complementano!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Come sapete, i computer lavorano in base 2 e non in base 10. Ma in passato erano state proposte altre basi…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2493","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Ed","jetpack-related-posts":[{"id":672,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/12\/03\/teoremi-e-probabilita\/","url_meta":{"origin":2493,"position":0},"title":"Teoremi e probabilit\u00e0","author":".mau.","date":"03\/12\/2015","format":false,"excerpt":"Sembrano due concetti agli antipodi, eppure si possono dimostrare alcuni teoremi con metodi probabilistici.","rel":"","context":"In \"dimostrazioni\"","block_context":{"text":"dimostrazioni","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/dimostrazioni\/"},"img":{"alt_text":"cerchi","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2015\/12\/cerchi-300x182.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2472,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/01\/21\/parole-matematiche-cifra\/","url_meta":{"origin":2493,"position":1},"title":"Parole matematiche: cifra","author":".mau.","date":"21\/01\/2012","format":false,"excerpt":"Sembra incredibile, ma cifra e zero derivano dalla stessa parola. E cifra, comunque, ha una bella storia...","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":619,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/09\/07\/che-cose-il-caso\/","url_meta":{"origin":2493,"position":2},"title":"Che cos’\u00e8 il caso?","author":".mau.","date":"07\/09\/2015","format":false,"excerpt":"Non \u00e8 facile definire cos'\u00e8 una sequenza casuale, perch\u00e9 non possiamo mai essere certi di avere una piena conoscenza di quello che c'\u00e8 dietro di essa.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":449,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/12\/20\/il-primo-teorema-di-incompletezza-di-godel\/","url_meta":{"origin":2493,"position":3},"title":"Il primo teorema di incompletezza di G\u00f6del","author":".mau.","date":"20\/12\/2011","format":false,"excerpt":"La dimostrazione del teorema di incompletezza di G\u00f6del non \u00e8 complicatissima, ma \u00e8 cos\u00ec autoreferenziale che a volte sembra di vedere Ritorno al futuro II. Ho provato a sminuzzarla e descriverla.","rel":"","context":"In \"logica\"","block_context":{"text":"logica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/logica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":514,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/02\/10\/dimostrazioni-a-conoscenza-zero\/","url_meta":{"origin":2493,"position":4},"title":"Dimostrazioni a conoscenza zero","author":".mau.","date":"10\/02\/2015","format":false,"excerpt":"\u00c8 possibile convincere qualcuno che noi conosciamo un segreto, senza effettivamente rivelarglielo? A prima vista sembra impossibile, ma esiste un modo per renderlo pi\u00f9 che ragionevolmente certo.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2275,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/06\/10\/ci-sono-infiniti-piu-infiniti\/","url_meta":{"origin":2493,"position":5},"title":"Ci sono infiniti “pi\u00f9 infiniti”!","author":".mau.","date":"10\/06\/2010","format":false,"excerpt":"Il metodo diagonale di Cantor mostra che ci sono diversi tipi di infiniti, e ne costruisce esplicitamente uno, se si ha una pazienza infinita. Ma non tutti sono d'accordo che la cosa sia lecita!","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"il metodo diagonale di Cantor","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2010\/06\/cantor-diagonale.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2493","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2493"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2493\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2494,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2493\/revisions\/2494"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2493"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2493"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2493"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}