{"id":2476,"date":"2012-02-08T17:04:24","date_gmt":"2012-02-08T16:04:24","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2476"},"modified":"2022-10-11T10:33:51","modified_gmt":"2022-10-11T08:33:51","slug":"la-magia-delle-soluzioni","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/02\/08\/la-magia-delle-soluzioni\/","title":{"rendered":"La magia delle soluzioni"},"content":{"rendered":"

Domenica scorsa ho postato sul mio blog personale un “problema della domenica”: quizzini generalmente non troppo complicati, che sto raccogliendo su una pagina apposita<\/a>. Stavolta per\u00f2 il problema era pi\u00f9 complicato del solito, e nessuno l’ha risolto: non solo, ma ci sono state lamentele sulla soluzione da me fornita. Eccovi il problema:<\/p>\n

Dimostrate che dato un qualunque numero intero k<\/em>, il prodotto di k<\/em> interi consecutivi \u00e8 divisibile per k<\/em>!, dove il punto esclamativo indica il fattoriale e cio\u00e8 il prodotto dei numeri da 1 a k<\/em>. Per esempio, il prodotto degli undici interi da 13 a 23 \u00e8 divisibile per 11!.<\/p><\/blockquote>\n

Se volete cimentarvici, smettete di leggere: la soluzione \u00e8 qui sotto.<\/p>\n

La prima risposta che potrebbe venire in mente \u00e8 questa: \u00abIn un gruppo di k<\/em> numeri consecutivi ce ne dev’essere per forza uno divisibile per 2, uno per 3, uno per 4, e cos\u00ec via fino a uno divisibile per k<\/em>.\u00bb Questa effettivamente \u00e8 stata anche la mia prima “dimostrazione” del teorema: peccato che non funzioni. Nell’esempio citato sopra con i numeri da 13 a 23, infatti, 18 \u00e8 l’unico che \u00e8 divisibile per 6 e per 9, e quindi viene contato due volte nel procedimento.<\/p>\n

La soluzione canonica \u00e8 questa: il prodotto di k<\/em> interi positivi a partire da n<\/em> \u00e8 dato da (k<\/em>+n<\/em>-1)!\/(n<\/em>-1)!, numero che ricorda sospettosamente \u2013 per la precisione, \u00e8 un suo multiplo \u2013 (k<\/em>+n<\/em>-1)!\/(k<\/em>!(n<\/em>-1)!). Quest’ultima espressione corrisponde a C(k<\/em>+n<\/em>-1,k<\/em>), cio\u00e8 al numero di modi di scegliere k<\/em> oggetti in un insieme di k<\/em>+n<\/em>-1. Siccome questo numero \u00e8 evidentemente un intero, a fortiori lo sar\u00e0 anche il nostro numero iniziale.<\/p>\n

Dal mio punto di vista la soluzione non fa una grinza, anzi \u00e8 persino elegante: ma zar<\/a> ha espresso dei dubbi sulla sua validit\u00e0 (attenzione, non sulla sua correttezza<\/strong>! Se avete una mentalit\u00e0 matematica, la differenza \u00e8 evidente: una soluzione corretta \u00e8 accettata, per\u00f2 ci si pu\u00f2 lamentare perch\u00e9 non \u00e8 abbastanza “bella”). Per i curiosi, la discussione si \u00e8 tenuta qui<\/a>: in pratica, zar ritiene che la dimostrazione canonica sia quasi magia, e avrebbe preferito una dimostrazione algebrica del problema.<\/p>\n

Io una dimostrazione algebrica ce l’ho anche, a dire il vero. Parte dalla dimostrazione errata qui sopra: per\u00f2 non considera i numeri da 1 a k<\/em> ma i loro fattori primi<\/strong>. Per fissare le idee, prendiamo il fattore 2. Indicando con [x<\/em>] la parte intera di x<\/em>, in k<\/em>! abbiamo [k<\/em>\/2] multipli di 2, [k<\/em>\/4] multipli di 4, [k<\/em>\/8] multipli di 8 e cos\u00ec via (quando arriviamo a una potenza di 2 superiore a k<\/em> il valore corrispondente sar\u00e0 zero, il che ci va benissimo: \u00e8 uno dei casi in cui tornano utili le mirabolanti propriet\u00e0 dell’insieme vuoto<\/a>). Ma in qualunque successione di k<\/em> interi consecutivi ne abbiamo [k<\/em>\/2] multipli di 2, [k<\/em>\/4] multipli di 4, [k<\/em>\/8] multipli di 8 e cos\u00ec via: quindi stavolta l’associazione \u00e8 perfetta, perch\u00e9 togliamo man mano un fattore 2 a tutte le coppie di numeri pari (saltandone magari uno: se invece che i numeri da 11 a 23 nel nostro esempio avessimo preso quelli da 10 a 22 ce ne sono sei pari contro i cinque dei numeri da 1 a 11), un secondo fattore 2 ai multipli di 4, e cos\u00ec via. Riapplicando lo stesso ragionamento a tutti i numeri primi minori di k<\/em> arriviamo alla risposta. Non c’\u00e8 pi\u00f9 il “problema del 18”: gli toglieremo regolarmente il fattore 9, mentre il 6 = 2\u00b73 verr\u00e0 preso altrove.<\/p>\n

Ecco. La dimostrazione puramente algebrica c’\u00e8. Peccato che sia una schifezza. Pu\u00f2 darsi ce ne sia qualcuna di pi\u00f9 semplice: parafrasando Ennio De Giorgi<\/a>, il problema \u00e8 uno ma le soluzioni sono tante. Resta il mio assunto di base: perch\u00e9 mi devo sforzare di fare una dimostrazione algebrica quando ce ne ho una combinatorica a portata di mano?<\/p>\n

Se proprio dobbiamo parlare di “magia delle soluzioni”, ci sono almeno due significati diversi che mi vengono in mente. Il primo si pu\u00f2 riassumere come \u00abma come diavolo ti \u00e8 venuto in mente di provare quell’approccio? \u00c8 pura magia!\u00bb. Ci sono effettivamente casi, come capita spesso nei problemi pi\u00f9 bastardi delle competizioni matematiche, in cui \u00e8 praticamente impossibile tirare fuori la dimostrazione “magica”. Questo capita quando il problema \u00e8 costruito a posteriori a partire da un teorema che si stava dimostrando, notando che l’enunciato poteva essere cucinato in altro modo e presentato all’ignaro competitore. Oserei dire che questo non \u00e8 il caso: almeno dal mio punto di vista il passaggio logico “scrivere esplicitamente il numero come rapporto tra due fattoriali” porta immediatamente a pensare al numero di combinazioni. Il secondo significato \u00e8 invece \u00abma come \u00e8 possibile che due campi a prima vista cos\u00ec lontani della matematica siano invece intimamente legati? \u00c8 pura magia!\u00bb. Beh, in questo caso sono d’accordo: \u00e8 magia. Ma \u00e8 anche il bello della matematica: spesso le conoscenze sono progredite proprio perch\u00e9 qualcuno si \u00e8 magicamente accorto che un problema poteva essere visto in un altro modo e a quel punto si potevano applicare le tecniche di un’altra branca della matematica. Vi assicuro che \u00e8 una sensazione favolosa.<\/p>\n

Voi che ne pensate? La matematica \u00e8 magia a prescindere, come diceva Clarke per la tecnologia troppo avanzata, oppure ci sono cose per voi pi\u00f9 o meno magiche?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Spesso la soluzione di un problema matematico sembra uscire come per magia da un cappello. Ma in fin dei conti il bello della matematica \u00e8 che un problema pu\u00f2 magicamente essere visto da un altro punto di vista!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2476","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-DW","jetpack-related-posts":[{"id":2478,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/02\/13\/una-dimostrazione-errata-e-meglio-che-nessuna-dimostrazione\/","url_meta":{"origin":2476,"position":0},"title":"Una dimostrazione errata \u00e8 meglio che nessuna dimostrazione","author":".mau.","date":"13\/02\/2012","format":false,"excerpt":"Certo, in matematica una dimostrazione errata di per s\u00e9 non serve a nulla. Per\u00f2 pu\u00f2 essere un utile punto di partenza.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2598,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/26\/parilandia\/","url_meta":{"origin":2476,"position":1},"title":"Parilandia","author":".mau.","date":"26\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Noi diamo per scontata la fattorizzazione unica, ma non \u00e8 sempre cos\u00ec.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":607,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/08\/22\/soluzioni-ai-quizzini-di-ferragosto-2015\/","url_meta":{"origin":2476,"position":2},"title":"Soluzioni ai quizzini di Ferragosto 2015","author":".mau.","date":"22\/08\/2015","format":false,"excerpt":"Ecco le soluzioni ai quizzini della scorsa settimana! 1. Moltiplicate i puntini Se b fosse 5 oppure 6, la prima cifra del prodotto sarebbe 3. Se b fosse 1, 2 oppure 3, la prima cifra del prodotto sarebbe 0 oppure 1. Dunque b \u00e8 4, e a questo punto \u00e8\u2026","rel":"","context":"In \"quizzini\"","block_context":{"text":"quizzini","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/quizzini\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":602,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/08\/15\/quizzini-per-ferragosto-2015\/","url_meta":{"origin":2476,"position":3},"title":"Quizzini per Ferragosto 2015","author":".mau.","date":"15\/08\/2015","format":false,"excerpt":"Questa volta i quizzini sono tratti dal libro 100 Math Brainteasers di Zbigniew Romanowicz e Bartholomew Dyda, e garantisco che sono tutti facilissimi (tanto che ne ho complicato leggermente qualcuno...) Come sempre, le soluzioni appariranno la settimana prossima. 1. Moltiplicate i puntini Nel disegno qui sotto vedete una moltiplicazione fatta\u2026","rel":"","context":"In \"quizzini\"","block_context":{"text":"quizzini","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/quizzini\/"},"img":{"alt_text":"[63a \u00d7 b = 2?32]","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2015\/08\/q1-300x232.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2470,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/01\/09\/sudoku-minimali-e-massimali\/","url_meta":{"origin":2476,"position":4},"title":"Sudoku minimali e massimali","author":".mau.","date":"09\/01\/2012","format":false,"excerpt":"Il 2012 si \u00e8 aperto con la dimostrazione che per avere un sudoku risolvibile \u00e8 necessario avere almeno 17 numeri. Come ci si \u00e8 arrivati? Forza (quasi) bruta.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2012\/01\/sudoku77.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2624,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/07\/08\/basta-saperlo\/","url_meta":{"origin":2476,"position":5},"title":"Basta saperlo…","author":".mau.","date":"08\/07\/2013","format":false,"excerpt":"Spesso in matematica sapere qual \u00e8 il risultato da dimostrare fa anche intuire qual \u00e8 la strada da prendere per dimostrarlo. Il guaio \u00e8 appunto riuscire a saperlo...","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2476","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2476"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2476\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2477,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2476\/revisions\/2477"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2476"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2476"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2476"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}