{"id":2462,"date":"2011-12-01T15:19:46","date_gmt":"2011-12-01T14:19:46","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2462"},"modified":"2022-10-11T10:25:17","modified_gmt":"2022-10-11T08:25:17","slug":"quaternioni-e-ottetti-per-non-parlar-di-sedenioni","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/12\/01\/quaternioni-e-ottetti-per-non-parlar-di-sedenioni\/","title":{"rendered":"Quaternioni e ottetti (per non parlar di sedenioni)"},"content":{"rendered":"

Se ricordate, quando avevo parlato dei numeri complessi<\/a> avevo spiegato come fossimo arrivati alla fine della storia: partendo dai numeri naturali si erano aggiunti quelli frazionari per potere eseguire le divisioni, quelli negativi per poter eseguire le sottrazioni, quelli irrazionali per poter estrarre le radici o calcolare un logaritmo o banalmente per trovare un posto al pi greco, e quelli complessi per risolvere equazioni come x2<\/sup>+1=0. Per\u00f2 le soluzioni di una qualunque equazione a coefficienti complessi sono ancora numeri complessi, quindi non c’era pi\u00f9 bisogno di aggiungere nulla; peggio ancora non si sapeva nemmeno cosa<\/b> aggiungere.<\/p>\n

Ma da quando in qua un matematico si lascia distrarre da simili quisquilie? Ecco. Sir William Rowan Hamilton<\/a> decise che qualcosa doveva pur esserci. In fin dei conti Argand, e poi Gauss, avevano mostrato che il piano dei numeri complessi permetteva di visualizzare le operazioni di traslazione (addizione) e rotazione (moltiplicazione, a meno di un fattore Enlarge Your Vector dato dal modulo del secondo vettore). Perch\u00e9 non si potrebbe fare lo stesso con le rototraslazioni nello spazio? Basta aggiungere a 1 e i<\/i> una terza unit\u00e0 j<\/i>, e trovare le giuste relazioni. Peccato che queste giuste relazioni non si trovassero, e l’ex bambino prodigio cominciava a perdere la speranza… fino al 16 ottobre 1843.<\/p>\n

Quel giorno Hamilton stava passeggiando per le vie della sua Dublino insieme alla moglie. Invece che stare a sentire quello che lei le diceva, probabilmente il suo subconscio continuava a pensare al problema, e a un tratto la soluzione gli balz\u00f2 in testa. Occorreva aggiungere una quarta<\/b> unit\u00e0 k<\/i>! Da qui il nome di quaternioni<\/b> assegnato a questi nuovi numeri, e la lettera H<\/b> scritta col font buffo che li contraddistigue: la Q<\/b> era gi\u00e0 stata assegnata ai numeri razionali e cos\u00ec si \u00e8 presa l’iniziale di Hamilton. Naturalmente le unit\u00e0 immaginarie i<\/i>, j<\/i> e k<\/i> dovevano essere tra loro correlate, visto che il nostro spazio di dimensioni ne ha solo tre: le relazioni sono date dalle uguaglianze<\/p>\n

 i<\/i>2<\/sup> = j<\/i>2<\/sup> = k<\/i>2<\/sup> = ijk<\/i> = −1<\/p><\/blockquote>\n

Hamilton fu cos\u00ec felice della sua scoperta che si mise a incidere quelle formule come un graffitaro qualunque sulla sponda del Broom Bridge, il ponte sul Royal Canal che stava percorrendo. Non doveva per\u00f2 essere molto bravo a incidere sulla pietra, oppure i dublinesi avevano un ottimo servizio di ripulitura, perch\u00e9 il testo non esiste pi\u00f9: in compenso hanno messo una targa commemorativa.<\/p>\n

Occhei, mi chiederete: qual \u00e8 il trucco? Non tanto perch\u00e9 serve una terza unit\u00e0 immaginaria, visto che a posteriori le si possono associare alle rotazioni rispetto ai tre assi; quanto piuttosto perch\u00e9 non riuscivamo ad ampliare la struttura dei numeri complessi. La ragione \u00e8 semplice, una volta che qualcuno la spiega. Quanto vale ij<\/i>? Se postuliamo che sia x<\/i>, possiamo moltiplicare i due membri dell’equazione ij<\/i>=x<\/i> per k<\/i> e ottenere ijk<\/i>=xk<\/i>; ma il membro a sinistra vale −1, pertanto x<\/i> deve essere uguale a k<\/i>. Quanto vale invece ji<\/i>? Avete detto k<\/i>? Sbagliato! Se cos\u00ec fosse, allora ijji<\/i> sarebbe uguale a ijk<\/i>; peccato che quest’ultimo prodotto valga −1, mentre il primo vale i<\/i>(-1)i<\/i> = −i<\/i>2<\/sup> = 1. Insomma, ji<\/i> = −k<\/i>, o se preferite ji<\/i>=−ij<\/i>. Colpo di scena!<\/p>\n

Beh, confesso di avere un po’ barato quando ho fatto questi passaggi algebrici, perch\u00e9 sapevo gi\u00e0 dove volevo arrivare; per\u00f2 garantisco che sono tutti validi. Quella che non \u00e8 appunto valida \u00e8 la propriet\u00e0 commutativa<\/b> della moltiplicazione: mentre 6×7 \u00e8 sicuramente identico a 7×6, questo non \u00e8 pi\u00f9 vero quando si moltiplicano due di questi numeri pi\u00f9 che immaginari, e si pu\u00f2 ottenere il risultato opposto. Con il senno di poi, la cosa non \u00e8 cos\u00ec strana: se si prende un segmento sull’asse x<\/i> di uno spazio tridimensionale e lo si ruota di novanta gradi prima rispetto all’asse y<\/i> e poi a quello z<\/i>, il risultato \u00e8 l’opposto di quello che si otterrebbe invertendo l’ordine delle rotazioni. Insomma, la geometria tridimensionale (o meglio le trasformazioni dello spazio tridimensionale) \u00e8 intrinsecamente non commutativa, e pertanto anche la definizione di una struttura matematica che la rappresenti deve avere una moltiplicazione non commutativa.<\/p>\n

Noticina collaterale: l’addizione<\/b> non d\u00e0 mai problemi nella creazione di questi tipi di numeri costituiti da pi\u00f9 parti, come i complessi a+bi<\/i> e i quaternioni a+bi+cj+dk<\/i>. Basta sommare componente per componente, applicando cio\u00e8 la cosiddetta “regola del parallelogramma” che funziona in tutti gli spazi vettoriali, vale a dire per tutte le n<\/i>-uple di numeri. L’addizione \u00e8 pertanto sempre commutativa (x+y<\/i> = y+x<\/i>) e associativa (x<\/i>+(y+z<\/i>) = (y+z<\/i>)+z<\/i>): per\u00f2 quello che serve davvero \u00e8 la moltiplicazione, che rende pi\u00f9 coesa la struttura stessa. Fino ai complessi potevamo applicare alla moltiplicazoine sia l’associativit\u00e0 che la commutativit\u00e0; con i quaternioni perdiamo quest’ultima.<\/p>\n

Se qualcuno ora mi viene a chiedere a che diavolo servono questi quaternioni, la risposta \u00e8 semplice: tutti i videogiochi 3D, o pi\u00f9 banalmente il software per visualizzare modelli tridimensionali, usano i quaternioni per le routine di trasformazione delle immagini. Spero che questo gli basti. Se invece qualcuno mi chiede se c’\u00e8 un altro modo, anzi un altro modello, per vedere i quaternioni, la risposta \u00e8 s\u00ec. Anzi ce ne sono tanti di modelli, come si pu\u00f2 vedere nella voce su Wikipedia<\/a>: ma ci ho pensato un po’ su e ho deciso che si pu\u00f2 vivere felici anche senza conoscerli tutti (a meno che non siate matematici, si intende).<\/p>\n

Dopo che Hamilton aveva rotto il ghiaccio e mostrato che si poteva superare il muro dei complessi, \u00e8 inutile aggiungere che subito si cerc\u00f2 di trovare numeri ancora pi\u00f9 generali dei quaternioni. Dovrebbe esservi chiaro che si deve ancora cedere qualcosa per continuare ad ampliare; e potete immaginare che la vittima successiva sar\u00e0 l’associativit\u00e0. E infatti \u00e8 proprio cos\u00ec: nello stesso 1843 un amico di Hamilton, il giurista irlandese John T. Graves, immagin\u00f2 quelle che lui chiam\u00f2 “ottave”; due anni dopo Arthur Cayley defin\u00ec formalmente gli ottetti<\/a><\/strong> (oppure “ottonioni”, se il nome vi piace di pi\u00f9). Le unit\u00e0 immaginarie sono sette, e per evitare di consumare tutto l’alfabeto vengono chiamate e<\/i>1<\/sub>, e<\/i>2<\/sub>, … e<\/i>7<\/sub>; ciascuna di esse elevata al quadrato d\u00e0 −1, e il prodotto di due di esse cambia segno se si cambia l’ordine dei fattori; se infine si prendono tre unit\u00e0 diverse e si calcola (er<\/sub>es<\/sub><\/i>)et<\/sub><\/i> ed er<\/sub><\/i>(es<\/sub>et<\/sub><\/i>), ogni tanto il risultato sar\u00e0 identico e ogni tanto verranno due valori opposti. Se proprio volete vedere la tabellina di moltiplicazione completa, Wikipedia \u00e8 la vostra amica: qui ho gi\u00e0 scritto troppo. Tanto non ho mai scoperto un uso pratico degli ottetti che non sia scrivere un articolo, quindi potete dormire tranquilli.<\/p>\n

Termino raccontando che esiste una costruzione (chiamata di Cayley\u2013Dickson) che permette di continuare a raddoppiare ad infinitum le dimensioni della struttura algebrica. Ma che cosa si pu\u00f2 perdere, ora che le due propriet\u00e0 di base della moltipicazione sono gi\u00e0 state buttate alle ortiche? Esiste ancora l’ultimo tab\u00f9: due numeri diversi da zero che moltiplicati tra loro danno zero. Non rabbrividite: funziona allo stesso modo con l’aritmetica modulare. Se lavoriamo modulo dodici, 3×4=0. L’unico di questi esempi a cui \u00e8 stato dato un nome \u00e8 quello dei sedenioni<\/a>; il nome direi che \u00e8 pi\u00f9 che sufficiente per capire che \u00e8 ora di lasciar perdere…<\/p>\n

Post Scriptum<\/strong>: a dire il vero tre anni prima di Hamilton il matematico francese Olinde Rodrigues<\/a> aveva gi\u00e0 trattato dei quaternioni, o per la precisione dei gruppi di trasformazione dello spazio. Peccato che nessuno si era accorto della cosa, anche perch\u00e9 l’occupazione principale di Rodrigues era il bancario. E addirittura nel 1819 qualcuno aveva scritto, ma non pubblicato, un saggio sui quaternioni. Lascio all’assiduo mio lettore il facile compito di immaginare chi avesse pensato che la scoperta non fosse ancora sufficientemente matura.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Pensavate che con i numeri immaginari avessimo finito le possibilit\u00e0 di creare numeri? Mann\u00f2, si pu\u00f2 ancora andare avanti! L’unico guaio \u00e8 che bisogna rassegnarsi a cedere qualcosa…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2462","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-DI","jetpack-related-posts":[{"id":561,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/05\/07\/dai-numeri-immaginari-ai-quaternioni\/","url_meta":{"origin":2462,"position":0},"title":"Dai numeri immaginari ai quaternioni","author":".mau.","date":"07\/05\/2015","format":false,"excerpt":"Una volta che si cambia punto di vista, si possono avere idee che portano a nuovi sviluppi... basta sapere accorgersi di cosa bisogna buttare via. Anche questo \u00e8 il bello dela matematica.","rel":"","context":"In \"analogie\"","block_context":{"text":"analogie","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/analogie\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2434,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/07\/i-numeri-immaginari-e-complessi\/","url_meta":{"origin":2462,"position":1},"title":"I numeri immaginari e complessi","author":".mau.","date":"07\/09\/2011","format":false,"excerpt":"Gi\u00e0 chiamare dei numeri \u201cimmaginari\u201d fa capire che i matematici non erano poi cos\u00ec convinti che esistessero davvero. Per\u00f2 ne avevano bisogno, e quindi non si facevano troppi problemi.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2432,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/31\/numeri-razionali-irrazionali-algebrici-e-trascendenti\/","url_meta":{"origin":2462,"position":2},"title":"Numeri razionali, irrazionali, algebrici e trascendenti","author":".mau.","date":"31\/08\/2011","format":false,"excerpt":"I numeri pi\u00f9 naturali dopo i naturali sono i razionali. Lo dice la parola stessa, no?","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2584,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/03\/euclide-aritmetico\/","url_meta":{"origin":2462,"position":3},"title":"Euclide aritmetico","author":".mau.","date":"03\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Gli Elementi non parlano solo di geometria, ma anche di aritmetica; e anche qua brilla l'esposizione di Euclide.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2013\/04\/Euclids_algorithm_Book_VII_Proposition_2_3.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2430,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/11\/i-numeri-negativi\/","url_meta":{"origin":2462,"position":4},"title":"I numeri negativi","author":".mau.","date":"11\/08\/2011","format":false,"excerpt":"Vi siete mai accorti che chiamare un numero negativo significa gi\u00e0 dargli una connotazione, beh, negativa?","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":1485,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/06\/10\/interpretabilita\/","url_meta":{"origin":2462,"position":5},"title":"Interpretabilit\u00e0","author":".mau.","date":"10\/06\/2019","format":false,"excerpt":"Serve o non serve essere in grado di interpretare il risultato di un algoritmo di machine learning? Dipende dalle domande che ci si fa.","rel":"","context":"In \"algoritmi\"","block_context":{"text":"algoritmi","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/algoritmi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2462","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2462"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2462\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2463,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2462\/revisions\/2463"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2462"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2462"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2462"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}