- \n
- a<\/i> > b<\/i><\/li>\n
- a<\/i> ≥ b<\/i><\/li>\n
- a<\/i> < b<\/i><\/li>\n
- a<\/i> ≤ b<\/i><\/li>\n<\/ul>\n
A questo punto posso fare tutte le operazioni algebriche standard che non modificano l’operatore nascosto dal punto interrogativo, fino a quando riesco ad arrivare a un risultato chiaro e finalmente capire quale dovevo usare fin dall’inizio. Per completezza, anche se non lo user\u00f2 in questi esempi, c’\u00e8 anche l’operatore “\u00bf” che naturalmente \u00e8 quello complementare a “?”; in pratica, se a<\/i> ? b<\/i> allora 1\/a<\/i> \u00bf 1\/b<\/i> (provateci!)<\/p>\n
Com’\u00e8 allora la dimostrazione? Beh, abbiamo (a<\/i>+b<\/i>)\/2 ? √(ab<\/i>), cio\u00e8 a<\/i>+b<\/i> ?2 √(ab<\/i>). Eleviamo al quadrato e abbiamo (a<\/i>+b<\/i>)2<\/sup> ? 4ab<\/i>, cio\u00e8 (a<\/i>–b<\/i>)2<\/sup> ? 0; a questo punto sarete tutti d’accordo che il nostro punto interrogativo \u00e8 in realt\u00e0 un ≥, e l’uguaglianza si ha solo quando a<\/i>=b<\/i>. <\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2011\/11\/geom1.png?resize=403%2C214&ssl=1\")
<\/a> La dimostrazione non \u00e8 difficile, ma \u00e8 noiosa, come sempre capita quando si lavora algebricamente. Eccovi allora una seconda dimostrazione, questa volta geometrica, che balza subito alla vista. Nella figura qui a fianco abbiamo un triangolo rettangolo ABC inscritto in una semicirconferenza. \u00c8 noto che i triangoli AHC e CHB sono tra loro simili, oltre che simili ad ABC; abbiamo pertanto che a<\/i>\/c<\/i>=c<\/i>\/b<\/i>, cio\u00e8 che c<\/i> \u00e8 la media geometrica tra a<\/i> e b<\/i> (tecnicamente si parla di medio proporzionale<\/b>, ma \u00e8 la stessa cosa). Ma la media aritmetica tra a<\/i> e b<\/i> \u00e8 semplicemente il raggio del cerchio; a questo punto \u00e8 immediato vedere che c<\/i> \u00e8 sempre minore del raggio, tranne quando a<\/i> \u00e8 uguale a b<\/i> (e a c<\/i>). Semplice ed economico.<\/p>\nE se i numeri da mediare sono pi\u00f9 di due? La dimostrazione geometrica nel caso n<\/i>-dimensionale mi sa che non sia molto applicabile: accontentatevi per il momento di una pseudodimostrazione fisica che fa fine e non impegna, almeno fintantoch\u00e9 non la si voglia formalizzare per bene. Nel disegno pi\u00f9 in basso vediamo vari punti su una semiretta, e la loro media aritmetica \u00e8 indicata con un triangolino che fa da fulcro. S\u00ec, lo so che la leva non sarebbe in equilibrio: fate finta che i punti si alleggeriscano man mano che si allontanano dal centro. Ora, se non tutti i punti hanno lo stesso valore, ce ne sar\u00e0 almeno uno a sinistra e uno a destra del fulcro; e ce ne sar\u00e0 (almeno) uno a distanza minima ma positiva da esso. Prendete questo punto e uno dall’altro lato, e spostateli della stessa distanza verso il fulcro in modo che (almeno) il pi\u00f9 vicino lo raggiunga. La media aritmetica, se sostituiamo ad a<\/i> e b<\/i> rispettivamente a<\/i>+x<\/i> e b<\/i>–x<\/i>, non cambia; quella geometrica invece cresce, come il lettore desideroso di fare i conti pu\u00f2 facilmente verificare da solo osservando che se 0 ≤ a<\/i> ≤ b<\/i> e 0 ≤ a ≤ (a<\/i>+b<\/i>)\/2 allora ab<\/i> ≤ (a<\/i>+x<\/i>)(b<\/i>–x<\/i>). Se proprio il lettore non sa come farlo, provi a introdurre una nuova variabile c<\/i> pari alla media aritmetica tra a<\/i> e b<\/i>, e riscriva tutto in termini di c<\/i>…
\n![\"\"](\"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2011\/11\/geom2.png?resize=523%2C75&ssl=1\")
<\/a><\/p>\nSe mi dite che questa dimostrazione non \u00e8 troppo matematica, avete ragione. Passo quindi a una dimostrazione puramente algebrica, che purtroppo prevede una serie di formulacce che devo scrivere in LaTeX perch\u00e9 i font standard HTML non mi bastano. Vi chiederei per\u00f2 di seguire almeno i passaggi logici, fidandovi che i conti da me fatti siano corretti: questa dimostrazione, che secondo il libro di Paul Zeitz che sto continuando a leggere \u00e8 di Cauchy, \u00e8 infatti peculiare.<\/p>\n
Il primo passo \u00e8 usare l’induzione. Ma attenzione: non dimostrer\u00f2 il teorema per tutti i valori di n<\/i>, ma solo per le potenze di 2. Il caso base, cio\u00e8 n<\/i>=2, l’abbiamo visto sopra. Ora immaginiamo che la disuguaglianza valga per 2n<\/i><\/sup> termini, e vediamo cosa succede se ne abbiamo 2n<\/i>+1<\/sup>. Con “semplici passaggi algebrici”, e applicando due volte l’ipotesi induttiva e una volta la disuguaglianza base, otteniamo
\n![\"\"](\"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2011\/11\/mathurl.com-7ltl675.png?resize=360%2C86&ssl=1\")
<\/a>![\"\"](\"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2011\/11\/mathurl.com-7gmww6d.png?resize=366%2C99&ssl=1\")
<\/a>
\n(io ve l’avevo detto che facevate meglio a fidarvi!)<\/p>\nAdesso arriva l’idea fantastica: torniamo indietro!<\/b> Pi\u00f9 precisamente, mostriamo che se la disuguaglianza \u00e8 vera per n<\/i> termini allora lo \u00e8 anche per n<\/i>-1. Per semplicit\u00e0 faccio un caso specifico, quello di n<\/i>=4, ma ovviamente il ragionamento \u00e8 generalizzabile. Se sappiamo che (a<\/i>+b<\/i>+c<\/i>+d<\/i>)\/4 ≥ 4<\/sup>√(abcd<\/i>) e vogliamo dimostrare che (a<\/i>+b<\/i>+c<\/i>)\/4 ≥ 4<\/sup>√(abc<\/i>), la strada pi\u00f9 semplice che dovrebbe venirci alla mente \u00e8 di sostiture a d<\/i> la media aritmetica degli altri elementi, cio\u00e8 (a<\/i>+b<\/i>+c<\/i>)\/3. In effetti avremo che (a<\/i>+b<\/i>+c<\/i>)\/4 ≥ 4<\/sup>√(abc<\/i>(a<\/i>+b<\/i>+c<\/i>)\/3); elevando alla quarta potenza il tutto, semplificando il fattore (a<\/i>+b<\/i>+c<\/i>)\/3 ed estraendo la radice cubica siamo a posto.<\/p>\n
La dimostrazione non \u00e8 cos\u00ec difficile se si sa cosa fare, e in effetti era stata lasciata come “esercizio guidato”; personalmente sono rimasto stupito dall’idea di Cauchy di fare grandi balzi per poi tornare indietro, e credo che questo sia l’unico esempio di induzione-e-retroazione in una dimostrazione. Voi che ne pensate?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Dimostrare che la media aritmetica \u00e8 sempre maggiore o uguale della media geometrica non \u00e8 difficile, ma farlo in maniera inventiva pu\u00f2 essere divertente.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2456","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-DC","jetpack-related-posts":[{"id":444,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/10\/31\/aritmetica-di-robinson\/","url_meta":{"origin":2456,"position":0},"title":"Aritmetica di Robinson","author":".mau.","date":"31\/10\/2014","format":false,"excerpt":"I teoremi di G\u00f6del vi sembrano troppo complicati? Eccovi un modo molto semplice per trovare una proposizione indecidibile secondo certe regole aritmetiche.","rel":"","context":"In \"assiomi\"","block_context":{"text":"assiomi","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/assiomi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":388,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/09\/09\/induzione-alla-rovescia\/","url_meta":{"origin":2456,"position":1},"title":"Induzione alla rovescia","author":".mau.","date":"09\/09\/2014","format":false,"excerpt":"Chi ha mai detto che l'induzione pu\u00f2 solo andare in su?","rel":"","context":"In \"didattica\"","block_context":{"text":"didattica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/didattica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2434,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/07\/i-numeri-immaginari-e-complessi\/","url_meta":{"origin":2456,"position":2},"title":"I numeri immaginari e complessi","author":".mau.","date":"07\/09\/2011","format":false,"excerpt":"Gi\u00e0 chiamare dei numeri \u201cimmaginari\u201d fa capire che i matematici non erano poi cos\u00ec convinti che esistessero davvero. Per\u00f2 ne avevano bisogno, e quindi non si facevano troppi problemi.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2584,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/03\/euclide-aritmetico\/","url_meta":{"origin":2456,"position":3},"title":"Euclide aritmetico","author":".mau.","date":"03\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Gli Elementi non parlano solo di geometria, ma anche di aritmetica; e anche qua brilla l'esposizione di Euclide.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2013\/04\/Euclids_algorithm_Book_VII_Proposition_2_3.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":561,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/05\/07\/dai-numeri-immaginari-ai-quaternioni\/","url_meta":{"origin":2456,"position":4},"title":"Dai numeri immaginari ai quaternioni","author":".mau.","date":"07\/05\/2015","format":false,"excerpt":"Una volta che si cambia punto di vista, si possono avere idee che portano a nuovi sviluppi... basta sapere accorgersi di cosa bisogna buttare via. Anche questo \u00e8 il bello dela matematica.","rel":"","context":"In \"analogie\"","block_context":{"text":"analogie","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/analogie\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":1503,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/07\/10\/numeri-felici\/","url_meta":{"origin":2456,"position":5},"title":"Numeri felici","author":".mau.","date":"10\/07\/2019","format":false,"excerpt":"una categoria di numeri con propriet\u00e0 facili da studiare... ma non troppo.","rel":"","context":"In \"didattica della matematica\"","block_context":{"text":"didattica della matematica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/didattica-della-matematica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/07\/happynumbers.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2456","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2456"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2456\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2457,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2456\/revisions\/2457"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2456"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2456"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2456"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
- a<\/i> ≥ b<\/i><\/li>\n
![\"\"](\"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2011\/11\/geom1.png?ssl=1\")
<\/a> La dimostrazione non \u00e8 difficile, ma \u00e8 noiosa, come sempre capita quando si lavora algebricamente. Eccovi allora una seconda dimostrazione, questa volta geometrica, che balza subito alla vista. Nella figura qui a fianco abbiamo un triangolo rettangolo ABC inscritto in una semicirconferenza. \u00c8 noto che i triangoli AHC e CHB sono tra loro simili, oltre che simili ad ABC; abbiamo pertanto che a<\/i>\/c<\/i>=c<\/i>\/b<\/i>, cio\u00e8 che c<\/i> \u00e8 la media geometrica tra a<\/i> e b<\/i> (tecnicamente si parla di medio proporzionale<\/b>, ma \u00e8 la stessa cosa). Ma la media aritmetica tra a<\/i> e b<\/i> \u00e8 semplicemente il raggio del cerchio; a questo punto \u00e8 immediato vedere che c<\/i> \u00e8 sempre minore del raggio, tranne quando a<\/i> \u00e8 uguale a b<\/i> (e a c<\/i>). Semplice ed economico.<\/p>\n