Se mai siete andati a un ristorante e avete deciso di dividere equamente il conto, vi sar\u00e0 probabilmente capitato di trovarvi magari un conto di 100 euro da dividere in tre con assortiti mugugni (a parte quelli usati nella bistromatica come fonte di energia); ma non credo vi siate mai chiesti perch\u00e9 le cifre tonde non sono mai facilmente suddivisibili. I matematici per\u00f2 sono strana gente, e si sono messi a studiare quali sono i numeri “migliori”: ecco come sono nati i numeri altamente composti<\/b>. <\/p>\n
La definizione tecnica<\/a> di questi numeri \u00e8 semplice: un numero altamente composto \u00e8 tale che qualunque numero minore di esso ha meno divisori. I primi numeri altamente composti sono<\/a> 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080; la voce di Mathworld<\/a> al riguardo cita un articolo del 1915 contenente una lista dei primi 102 numeri altamente composti prodotta da un tal Ramanujan (mai sentito nominare?), che per\u00f2 si era dimenticato 293.318.625.600. L’ho sempre detto io, che farsi dare i numeri in sogno ogni tanto pu\u00f2 dare dei problemi… Con i calcolatori naturalmente le cose si sono fatte un po’ pi\u00f9 semplici, anche se non troppo; in questa pagina<\/a> di Achim Flammenkamp si possono vedere alcune statistiche su come la successione dei numeri altamente composti cresce, ed \u00e8 anche possibile scaricare la lista dei primi 124.260 numeri.<\/p>\n Ci sono diverse propriet\u00e0 dei numeri altamente composti che si possono dimostrare senza difficolt\u00e0. La pi\u00f9 semplice \u00e8 che essi sono infiniti; se infatti n<\/i> \u00e8 un numero altamente composto, sicuramente 2n<\/i> ha pi\u00f9 fattori di n<\/i> e quindi siamo certi che tra n<\/i> e 2n<\/i> ci sar\u00e0 un nuovo numero altamente composto. Un’altra propriet\u00e0 \u00e8 che se si scompone in fattori un numero altamente composto si otterr\u00e0 qualcosa del tipo 2a1<\/sub><\/i><\/sup>·3a2<\/sub><\/i><\/sup>·5a3<\/sub><\/i><\/sup>·… dove i numeri primi sono in ordine strettamente crescente senza buchi e i coefficienti a1<\/sub><\/i>, a2<\/sub><\/i>, a3<\/sub><\/i> … sono in successione non crescente. Se non fosse cos\u00ec basterebbe compattare la lista dei primi, e scambiare di posto i coefficienti, per ottenere un numero con la stessa quantit\u00e0 di fattori ma pi\u00f9 piccolo. Per curiosit\u00e0, 293.318.625.600 si fattorizza come 26<\/sup>·34<\/sup>·52<\/sup>·72<\/sup>·11·13·17·19.<\/p>\n Ci sono anche delle propriet\u00e0 che sono false ;-) Le due pi\u00f9 immediate sono “l’esponente del numero primo pi\u00f9 elevato nella fattorizzazione di un numero altamente composto \u00e8 sempre 1” (ci sono due eccezioni: 4 e 36) e “i fattoriali sono sempre numeri altamente composti”. Questa seconda propriet\u00e0 \u00e8 vera solo fino a 7!. In pratica, il guaio dei fattoriali \u00e8 che hanno troppi fattori piccoli – non per nulla 8!, cio\u00e8 40320, non fa gi\u00e0 parte della lista. Ricordate come si ottiene il numero di divisori di un intero? A scuola si insegna che bisogna prendere gli esponenti della sua suddivisione in fattori primi, sommare 1 a ciascuno di essi e poi moltiplicarli tra loro. Se ci pensate un attimo, \u00e8 chiaro che a un certo punto conviene aggiungere un nuovo primo, e quindi raddoppiare il numero di divisori, piuttosto che tanti fattori 2, il cui contributo risulter\u00e0 minore. La fattorizzazione di 8! \u00e8 27<\/sup>·32<\/sup>·5·7 e quindi il suo numero di fattori \u00e8 8·3·2·2 = 96; ma gi\u00e0 27720 = 23<\/sup>·32<\/sup>·5·7·11 ha 96 fattori…<\/p>\n Per tutti quelli che si stanno chiedendo a che serve tutto questo, la risposta non \u00e8 la solita “perch\u00e9 c’\u00e8 gente che si diverte a vedere queste cose”. Il vantaggio nella vita reale nell’usare questi numeri invece che cifre tonde \u00e8 quello che ho indicato all’inizio di questo post. Se abbiamo dieci uova, le possiamo solo suddividere in due o cinque parti uguali, a parte le “divisioni” banali in una parte o in dieci parti; con dodici uova possiamo farlo in due, tre, quattro o sei modi, sempre oltre ai due banali. Non \u00e8 insomma un caso che un tempo si contasse molto per dozzine invece che per decine, oppure che un’ora sia composta di 60 minuti e non di 100. Un tempo mica si girava col telefonino e la sua funzione calcolatrice!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Basta con le divisioni che non terminano mai! O almeno cerchiamo di ridurle al minimo indispensabile. E come? Con i numeri altamente composti…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2446","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Ds","jetpack-related-posts":[{"id":568,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/06\/01\/numeri-narcisisti\/","url_meta":{"origin":2446,"position":0},"title":"Numeri narcisisti","author":".mau.","date":"01\/06\/2015","format":false,"excerpt":"Una categoria di numeri autocelebrativi","rel":"","context":"In \"numeri\"","block_context":{"text":"numeri","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/numeri\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2426,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/02\/il-crivello-dopo-eratostene\/","url_meta":{"origin":2446,"position":1},"title":"Il crivello dopo Eratostene","author":".mau.","date":"02\/08\/2011","format":false,"excerpt":"Non \u00e8 che ci siano chiss\u00e0 quali metodi per calcolare i numeri primi. 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