Dare un nome a una cosa significa molto spesso emettere un giudizio di merito: la scelta delle parole non \u00e8 mai neutra. I numeri immaginari, pertanto, sono qualcosa che si direbbe non esistere affatto se non nei sogni di qualche matematico che aveva cenato un po’ troppo pesante. Niente di pi\u00f9 lontano dal vero: in ingegneria per esempio essi sono il pane quotidiano, anche se loro usano la j<\/i> al posto della i<\/i> per indicare l’unit\u00e0 immaginaria. Ma quando apparvero per la prima volta, in effetti…<\/p>\n
In passato non \u00e8 che la gente fosse cos\u00ec stupida. Magari non era molto convinta che i numeri negativi esistessero davvero, e sicuramente non li accettavano come soluzioni di un problema; ma si rendeva perfettamente conto che un numero come √−4 non poteva essere 2, visto che 2×2 = 4, e nemmeno -2, visto che −2×−2 = 4. Fin qui nulla di male. Ma poi arriva Tartaglia, che scopre le formule per risolvere vari tipi di equazioni di terzo grado (come ho scritto<\/a>, all’epoca tutti i termini di un’equazione dovevano essere positivi, quindi due equazioni per noi dello stesso tipo erano distinte a seconda del lato dell’uguale in cui si trovavano i termini). La sua formula funzionava perfettamente… tranne nel caso in cui l’equazione aveva tre radici reali (positive). Beh, no, funzionava comunque: per\u00f2 nel corso dei calcoli risolutori capitavano delle radici quadrate di numeri negativi. Tartaglia trov\u00f2 un sistema diverso per trattare quel caso particolare, ma il suo contemporaneo Cardano era indubbiamente un tipo molto pi\u00f9 pragmatico: quei numeri chiaramente non esistevano, ma visto che si poteva far finta che avessero un qualche significato e poi tanto alla fine sparivano, perch\u00e9 non usarli? Lo status dei numeri immaginari continuava per\u00f2 ad essere quello di fenomeni da baraccone, senza una reale parentela con i numeri veri e propri; anche Eulero, che pure amava tanto giocarci, diceva che \u00abnon sono n\u00e9 nulla, n\u00e9 qualcosa meno di nulla, il che li rende necessariamente immaginari, o impossibili\u00bb. All’inizio dell’Ottocento ci furono due avvenimenti che fecero cambiare il punto di vista del mondo matematico. Il primo fu la scoperta di un modello naturale per rappresentare i numeri immaginari e i numeri complessi, quelli ottenuti sommando a un numero immaginario un numero “reale” (il concetto non era ancora formalizzato, ma cosa volete che sia un numero contrapposto a uno immaginario?). Il modello \u00e8 noto come il piano di Argand, dal nome dello svizzero naturalizzato francese<\/a> che nel 1806 mentre lavorava come libraio pubblic\u00f2 a sue spese un opuscolo Essai sur une mani\u00e8re de repr\u00e9senter les quantit\u00e9s imaginaires dans les constructions g\u00e9om\u00e9triques dove mostrava come si potesse usare il piano cartesiano per raffigurare tutti i numeri complessi. L’asse delle x<\/i> corrisonde ai numeri reali, mentre l’asse delle y<\/i> ai numeri immaginari, con l’unit\u00e0 immaginaria i<\/i> verso l’alto (e l’unit\u00e0 1 verso la destra, ma questo lo sapevate gi\u00e0)<\/p>\n Non che basti avere una bella rappresentazione perch\u00e9 un modello sia valido: esso deve infatti essere utile. E in effetti il piano di Argand lo \u00e8, perch\u00e9 ci sono regole semplici per sommare due numeri complessi – la regola del parallelogrammo applicata ai vettori che partono dall’origine e terminano nel punto corrispondente al numero – e moltiplicarli, ma qui la storia \u00e8 pi\u00f9 complicata. La memoria di Argand fu molto pi\u00f9 fortunata di quelle di Galois e Abel, perch\u00e9 venne fortunosamente ritrovata e pubblicata nel 1813 da Jacques Francais con l’autore ancora in vita e che quindi pot\u00e9 avere tributati i giusti onori; ma \u00e8 anche vero che, come vedremo sotto, contemporaneamente il solito Gauss aveva avuto la stessa idea che avrebbe poi pesantemente sfruttato, e quindi la cosa non si sarebbe comunque persa. <\/p>\n Quello che \u00e8 poco noto, anche perch\u00e9 immagino i francesi abbiano fatto di tutto per nascondere, \u00e8 che Argand non \u00e8 stato affatto il primo a ideare il piano di Argand! Qualche decennio prima il norvegese Caspar Wessel, che nella vita faceva tutt’altro essendo un topografo, nel 1797 aveva presentato esattamente lo stesso modello che era anche stato pubblicato nelle Memorie della Regia Accademia Danese. Peccato che il tutto fosse scritto in danese e nessuno all’estero ne sapesse nulla… il trattato fu dimenticato e riscoperto casualmente solo dopo un secolo, come spiega Paul Nahin nel suo libro An Imaginary Tale<\/i>. Se volete, questa \u00e8 una controprova della validit\u00e0 del modello: se ci si si arriva indipendentemente, deve avere un senso profondo.<\/p>\n No, non mi sono dimenticato della seconda ragione per cui i numeri immaginari ebbero diritto di cittadinanza. Il merito \u00e8 di Gauss, che complet\u00f2 i risultati di Paolo Ruffini dimostrando il Teorema Fondamentale dell’algebra: un’equazione di grado n<\/i> ha sempre esattamente n<\/i> soluzioni nel campo dei numeri complessi. La forza di un risultato cos\u00ec generale \u00e8 tale da avere portato la comunit\u00e0 matematica ad accettare i numeri complessi come un’estensione naturale. Nel 1831, anche se sembra che i suoi risultati fossero gi\u00e0 stati ottenuti prima del 1796, Gauss pubblic\u00f2 la sua interpretazione geometrica dei numeri complessi, che tra l’altro vennero chiamati cos\u00ec proprio da lui: e se qualcosa lo diceva Gauss si poteva essere certi che tutti i matematici lo avrebbero accettato.<\/p>\n
\nNel Settecento i numeri immaginari continuavano a non esistere, ma questo banale particolare non fermava certo i matematici dell’epoca, che erano sostanzialmente dei formalisti – un effetto collaterale di avere introdotto le notazioni algebriche odierne; con i simboli al posto delle parole discorsive viene pi\u00f9 voglia di trattarli come se avessero una vita loro – e quindi hanno tirato fuori formule su formule che li sfruttavano. Eulero, se non ha creato, ha sicuramente contribuito a diffondere il simbolo i<\/i> per l’unit\u00e0 i<\/u><\/b>mmaginaria: sua \u00e8 anche la famosa e misteriosa formula ei<\/i>π<\/sup>+1=0 e la scoperta che i<\/i>i<\/i><\/sup> \u00e8 un numero reale, pari a circa 0,207879576. Vi racconto uno scoop: entrambe queste equazioni hanno in realt\u00e0 infiniti valori, e quello indicato \u00e8 solo il principale. Ma il principio di base \u00e8 comunque quello.<\/p>\n