{"id":2432,"date":"2011-08-31T06:12:25","date_gmt":"2011-08-31T04:12:25","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2432"},"modified":"2022-10-11T09:37:03","modified_gmt":"2022-10-11T07:37:03","slug":"numeri-razionali-irrazionali-algebrici-e-trascendenti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/31\/numeri-razionali-irrazionali-algebrici-e-trascendenti\/","title":{"rendered":"Numeri razionali, irrazionali, algebrici e trascendenti"},"content":{"rendered":"<p>Non di soli numeri naturali vive l&#8217;uomo. <a href=\"http:\/\/it.wikiquote.org\/wiki\/Leopold_Kronecker\">Leopold Kronecker<\/a> era sicuramente d&#8217;accordo, anzi per lui i numeri interi, essendo opera di Dio, erano forse pi\u00f9 importanti ma sicuramente meno interessanti degli altri. E alcuni altri numeri erano gi\u00e0 noti ben prima dei greci, anche se sono stati questi ultimi a capire che c&#8217;era qualcosa che non funzionava&#8230;<\/p>\n<p><!--more--> Egizi e babilonesi non avevano certo problemi a usare le frazioni; in fin dei conti dividere un sacco di grano in tre parti uguali \u00e8 un&#8217;operazione piuttosto semplice. Beh, gli egizi riuscivano comunque a complicarsi la vita, visto che con l&#8217;eccezione di 2\/3 loro usavano solamente frazioni del tipo 1\/<i>n<\/i> che infatti sono anche dette frazioni egizie. Peggio ancora, non si poteva usare due volte la stessa frazione: quindi non si poteva scrivere 2\/5 = 1\/5 + 1\/5 ma per esempio 1\/4 + 1\/10 + 1\/20. Abbiamo delle tabelle dove gli scribi egizi mostravano la scomposizione delle frazioni della forma 2\/<i>n<\/i> per decine di valori di <i>n<\/i>. Forse il tutto aveva un significato mistico: i geroglifici per le frazioni 1\/2, 1\/4, 1\/8, &#8230; 1\/64 sono varie parti dell&#8217;<a href=\"http:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Occhio_di_Horo\">occhio del dio Horus<\/a> (I am the maker of rules, se preferite). S\u00ec, ne manca un pezzo per completarlo, ma si sa che quando si smonta e si rimonta qualcosa i conti non tornano mai&#8230; Per i babilonesi le cose erano molto pi\u00f9 semplici, ricordandosi che loro lavoravano in base 60; la parte pi\u00f9 interessante \u00e8 che nelle loro tavolette di argilla si possono notare approssimazioni di frazioni scritte per l&#8217;appunto in base 60.<\/p>\n<p>I greci, con il loro approccio geometrico all&#8217;aritmetica, non avevano certo problemi a costruire un segmento lungo <i>m<\/i>\/<i>n<\/i> volte un segmento unitario; insomma i numeri razionali &ndash; ah, la parola non significa che si comportano in maniera logica e ragionevole, ma semplicemente che sono dati da un rapporto, anche se ormai sapete che la storia \u00e8 un po&#8217; pi\u00f9 complicata di come la sto facendo io ora. Ma proprio i greci sono rimasti sconcertati quando hanno scoperto che la diagonale del quadrato di lato unitario non era esprimibile sotto forma di frazione, come <a href=\"https:\/\/www.ilpost.it\/mauriziocodogno\/2010\/11\/24\/ippaso-2-e-i-falsi-storici\/\">ho gi\u00e0 raccontato<\/a>.<\/p>\n<p>Fortunatamente i numeri esprimibili come risultato dell&#8217;operazione di estrazione di radice di un numero positivo si comportano in maniera civile, almeno se ci si limita a usare il risultato positivo che si ottiene; pertanto li si poteva usare nelle operazioni aritmetiche come se fossero numeri qualunque. Certo, forse non funzionavano proprio cos\u00ec bene, tanto che il termine irrazionale ha un significato ben preciso nella vita di tutti i giorni, ma ci si poteva accontentare. Lo choc \u00e8 arrivato quando si \u00e8 cominciato a intuire che c&#8217;erano dei numeri che non potevano ricavarsi come risultato di un&#8217;equazione, di grado qualsivoglia, con coefficienti interi. Non che questo sia arrivato cos\u00ec presto: i primi esempi di quelli che sono stati chiamati <a href=\"http:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Numero_trascendente\"><b>numeri trascendenti<\/b><\/a> furono creati appositamente da Joseph Liouville nel 1844, ed vennero accuratamente <i>costruiti<\/i>: insomma sembravano pi\u00f9 che altro delle bestie da circo, a differenza dei pi\u00f9 potabili <b>numeri algebrici<\/b> che sono quelli indicati sopra e che sono risultati di un&#8217;equazione algebrica standard. Il primo numero &#8220;usuale&#8221; che si dimostr\u00f2 essere trascendente \u00e8 stato <i>e<\/i> nel 1873 da Charles Hermite, e nove anni dopo Ferdinand von Lindemann adatt\u00f2 la dimostrazione per mostrare che anche &pi; \u00e8 trascendente. Ma tanto il terremoto c&#8217;era gi\u00e0 stato: \u00e8 nel 1874 infatti che Cantor aveva mostrato come preso un numero reale a caso esso \u00e8 quasi certamente trascendente. Uno dei tanti risultati spiazzanti trovati nei Cent&#8217;Anni di Crisi della Matematica, dalla scoperta delle geometrie non euclidee ai teoremi di G\u00f6del e Turing.<\/p>\n<p>Ma la storia non \u00e8 certo finita qui! Ci sono numeri ancora peggiori, almeno come nome&#8230;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>I numeri pi\u00f9 naturali dopo i naturali sono i razionali. Lo dice la parola stessa, no?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2432","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-De","jetpack-related-posts":[{"id":2430,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/11\/i-numeri-negativi\/","url_meta":{"origin":2432,"position":0},"title":"I numeri negativi","author":".mau.","date":"11\/08\/2011","format":false,"excerpt":"Vi siete mai accorti che chiamare un numero negativo significa gi\u00e0 dargli una connotazione, beh, negativa?","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2434,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/07\/i-numeri-immaginari-e-complessi\/","url_meta":{"origin":2432,"position":1},"title":"I numeri immaginari e complessi","author":".mau.","date":"07\/09\/2011","format":false,"excerpt":"Gi\u00e0 chiamare dei numeri \u201cimmaginari\u201d fa capire che i matematici non erano poi cos\u00ec convinti che esistessero davvero. 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