{"id":2428,"date":"2011-08-09T06:25:39","date_gmt":"2011-08-09T04:25:39","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2428"},"modified":"2022-10-11T09:34:05","modified_gmt":"2022-10-11T07:34:05","slug":"il-paradosso-di-ross-littlewood","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/09\/il-paradosso-di-ross-littlewood\/","title":{"rendered":"Il paradosso di Ross-Littlewood"},"content":{"rendered":"

Il bello degli esperimenti mentali \u00e8 che permettono di pensare a sei cose impossibili prima di colazione. Eccovene una, che per\u00f2 potrebbe farvi saltare la colazione…
\nImmaginate di avere un’urna bella grande, e di compiere le seguenti operazioni. A mezzogiorno meno un minuto inserite nell’urna dieci palline numerate da 1 a 10, e contemporaneamente togliete quella col numero 1. A mezzogiorno meno mezzo minuto inserite le palline numerate da 11 a 20, e togliete la numero 2. A mezzogiorno meno 1\/3 di minuto inserite le palline numerate da 21 a 30, e togliete la numero 3. Continuate cos\u00ec, sempre pi\u00f9 vorticosamente: a mezzogiorno meno 1\/n<\/i> di minuto aggiungete le palline da 10n<\/i>−9 a 10n<\/i>, e togliete la numero n<\/i>. A mezzogiorno quante palline ci saranno nell’urna?<\/p>\n

Il primo ragionamento che si pu\u00f2 fare \u00e8 banalmente numerico: il risultato netto di ciascuna operazione \u00e8 aggiungere nove palline, quindi a mezzogiorno ci sar\u00e0 un numero infinito di palline. Se per\u00f2 vediamo la cosa in maniera un po’ pi\u00f9 accurata, le nostre certezze iniziano a vacillare. La pallina numero 1 non c’\u00e8 nell’urna: l’abbiamo tolta a mezzogiorno meno 1 minuto. Non c’\u00e8 neppure la pallina numero 2: l’abbiamo tolta a mezzogiorno meno 1\/2 minuto. E la pallina numero 31415? L’abbiamo tolta a mezzogiorno meno 1\/31415 minuti. Insomma, presa una qualsiasi pallina possiamo dimostrare che \u00e8 stata tolta dall’urna; ma allora l’urna \u00e8 vuota! Peggio ancora, immaginiamo ora di essere un po’ miopi e non essere riusciti guardare i numeri scritti sulle palline quando li togliamo; il ragionamento fatto qui sopra non vale pi\u00f9 – come facciamo a sapere se effettivamente abbiamo tolto la pallina 1? – e quindi torniamo ad averne un numero infinito…<\/p>\n

La situazione niente affatto bella che si ottiene con la successione infinita di operazioni mostrata qui sopra \u00e8 nota \u00e8 nota come Paradosso di Ross-Littlewood<\/a>. Le cose possono anche peggiorare: se scegliamo opportunamente le palline da eliminare a ogni passo, possiamo fare in modo da restare a mezzogiorno con un numero qualunque di palline. E c’\u00e8 una versione del paradosso dove non si toglie nessuna pallina, eppure alla fine delle operazioni non resta comunque nulla nell’urna! Nella nuova versione, a mezzogiorno meno un minuto si inseriscono le palline numerate da 1 a 9, e si rinomina la 1 in 10; quindi resteranno i numeri da 2 a 10.. A mezzogiorno meno mezzo minuto si inseriscono le palline da 11 a 19 e si rinomina la 2 in 20; resteranno i numeri da 3 a 20. Proseguendo come al solito, a mezzogiorno si pu\u00f2 nominare un numero qualsiasi ed essere certo che non c’\u00e8 pi\u00f9, perch\u00e9 \u00e8 stato rinominato…<\/p>\n

Operazioni – naturalmente teoriche! – di questo tipo sono chiamate supertask<\/i><\/a>, termine coniato dal filosofo James F. Thompson che come esempio archetipale di supertask ha descritto la Lampada di Thomson: la lampadina all’istante t<\/i>=0 \u00e8 spenta, e ha un interruttore che a intervalli di tempo che continuano a dimezzarsi cambia il suo stato. Quindi la lampada a t<\/i>=1 si accende, a t<\/i>=3\/2 si spegne, a t<\/i>=7\/$ si accende… Quale sar\u00e0 il suo stato a t<\/i>=2? E quale sarebbe stato il risultato se inizialmente fosse stata accesa? (no, la risposta “la lampada \u00e8 spenta perch\u00e9 a furia di accenderla e spegnerla si \u00e8 fulminata” non \u00e8 considerata valida in questo contesto). Un supertask insomma \u00e8 un compito che richiede un numero infinito (ma numerabile) di operazioni che vengono compiute in un tempo finito. Se le operazioni sono un infinito pi\u00f9 che numerabile allora si parla di ipertask, ma non ho mai osato addentrarmi fin l\u00ec.<\/p>\n

La posizione di Thomson \u00e8 che i supertask non possano esistere nemmeno logicamente, oltre che nella realt\u00e0, e che quindi la domanda sia malposta; la stessa posizione dei costruttivisti in matematica, posizione per\u00f2 che \u00e8 minoritaria. La mia personale posizione \u00e8 che il supertask \u00e8 idealmente possibile come lo \u00e8 il calcolo infinitesimale, ma che la risposta sia indefinita, esattamente come \u00e8 indefinito il risultato di 0\/0 oppure ∞ − ∞; non certo il massimo della vita, visto che in pratica sto nascondendo la polvere sotto il tappeto, ma meglio che niente. Mi sa che il matematico medio non si preoccupa di queste cose, e probabilmente fa anche bene; voi curiosi che siete passati di qua, invece?<\/p>\n

[in questi giorni sono in disintossicazione internettara, non aspettatevi miei commenti prima di Ferragosto]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

L’infinito \u00e8 una brutta bestia, su questo credo siano in molti a essere d’accordo. Ma se si immagina di compiere un numero infinito di azioni in un tempo finito, i paradossi aumentano ancora!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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