Parlare dei numeri naturali sembrerebbe per cos\u00ec dire naturale. \u00c8 ovvio che uno, due, tre, quattro… sono l\u00ec e sono sempre stati l\u00ec, noti a tutti, no? Beh, non proprio. Esistono trib\u00f9 primitive che non sapevano contare oltre a due, passando subito a “molti”. Non che queste trib\u00f9 non fossero in grado di accorgersi se avevano perso un bambino o uno dei loro animali: per cose come queste non \u00e8 affatto necessario saper contare :-)<\/p>\n
No, non serve una memorie eidetica che con un solo colpo d’occhio vi faccia riconoscere la quantit\u00e0 di bimbi o animali, anche se sembra che per insiemi relativamente piccoli la cosa funzioni cos\u00ec pur non avendo un nome per indicare l’insieme. Molto pi\u00f9 prosaicamente, la capacit\u00e0 che occorre \u00e8 quella di fare una corrispondenza biunivoca<\/b>. Se cominciamo a contare sul mignolo sinistro con il primo bambino e quando arriviamo all’ultimo siamo all’alluce del piede destro invece che al secondo dito, vuol dire che ci siamo persi qualcuno. Ci importa sapere che i bimbi sono sedici insieme che diciassette? In effetti no.<\/p>\n
Passare per\u00f2 dal concetto di tre bimbi, o tre pecore o tre pietre, al concetto astratto della “treezza” o “treit\u00e0” o “treaggine”, insomma al 3 come l’unica cosa che i tre bimbi, le tre pecore e le tre pietre hanno in comune \u00e8 un salto logico incredibile, anche se noi non ce ne accorgiamo perch\u00e9 siamo abituati fin da piccoli. Arrivati cos\u00ec al concetto astratto di numero – nel mondo occidentale gi\u00e0 gli egizi ce l’avevano, non \u00e8 merito dei greci – i numeri hanno anche acquistato uno status quasi magico. Chiedere ai pitagorici per maggiori informazioni, oppure andare dai cabalisti ebraici: magari un’altra volta ne parler\u00f2. Qui mi limito a ricordare come nell’antica Grecia si \u00e8 cominciato a parlare di classi di numeri: i triangolari, i quadrati, i numeri pari che rappresentavano la separabilit\u00e0 e il principio femminile e venivano generati a partire da 2, e quelli dispari che rappresentavano l’interezza il principio maschile e venivano generati a partire da 3. Vi lascio ricavare da soli la nemmeno troppo sottile metafora sessuale e mi limito a rimarcare che 1 non era visto n\u00e9 come numero pari (e ci credo) n\u00e9 come numero dispari; questo perch\u00e9 era considerato il generatore dei numeri.<\/p>\n
Zero naturalmente non entrava ancora nel discorso: era allora a tutti chiaro che se non c’\u00e8 nulla non c’\u00e8 un numero. Non parliamo poi dei numeri negativi: questa \u00e8 un’altra storia, e anch’essa merita un’altra chiacchierata. Si \u00e8 cos\u00ec andati avanti per pi\u00f9 di due millenni, senza stare a preoccuparsi di quisquilie e pinzallacchere filosofiche. Funzionavano, no? Poi per\u00f2 nella seconda met\u00e0 dell’Ottocento c’\u00e8 stato il Movimento per la Assiomatizzazione della Matematica e le cose sono cambiate. Il problema? Beh, la geometria euclidea, che per centinaia e centinaia d’anni era stata il punto fermo su cui si fondava tutta la matematica, era diventata uno dei possibili modelli. Insomma, nessuno poteva mettere pi\u00f9 la mano sul fuoco e dire che la somma degli angoli di un triangolo \u00e8 due angoli retti: occorreva qualcos’altro su cui fondarsi. <\/p>\n
La prima possibilit\u00e0 che veniva in mente per questa rifondazione matematica erano i numeri naturali. Dedekind e Weierstrass avevano gi\u00e0 mostrato come definire i numeri reali a partire dai razionali, e un numero razionale non \u00e8 altro che il rapporto tra due numeri naturali. Ma siamo sicuri che i naturali non ci facciano anche loro dei brutti scherzi, e che a un certo punto esca fuori l’aritmetica non euclidea? S\u00ec, Leopold Kroneker poteva anche dire che Dio aveva creato i numeri naturali e tutto il resto era opera dell’uomo; ma l’uomo vorrebbe sapere come Dio aveva creato i numeri naturali. Bene: entra Giuseppe Peano.<\/p>\n
Peano \u00e8 la quintessenza del matematto. Non so se conti qualcosa il suo essere di Cuneo, ma di aneddoti su di lui ce ne sono a iosa; prima o poi parler\u00f2 anche di lui. Ci\u00f2 non toglie che \u00e8 stato un matematico di prim’ordine: tra le tante cose che ha fatto c’\u00e8 stata per l’appunto la definizione di un insieme di assiomi per costruire i numeri naturali, assiomi che oggi prendono il nome da lui.<\/p>\n
Peano, come Dio, crea i numeri a partire dal nulla… no, scusate: non arriva cos\u00ec in l\u00e0; lui crea i numeri a partire dallo zero. Il primo dei suoi assiomi afferma infatti che esiste un numero naturale, che lui chiama 0. (Comunque, quando poi si decise di lasciar perdere anche i numeri e basarsi sugli insiemi, la scelta di partire dall’insieme vuoto a cui si associava lo zero si avvicina molto alla creazione dal nulla). Lo zero entra cos\u00ec surrettiziamente a far parte dei numeri naturali, anche se non tutti ne sono ancora convinti: la notazione N per alcuni indica i naturali a partire da 1 e per altri quelli a partire da 0, e in questo caso per il primo insieme si parla di N+<\/sub>.<\/p>\n Il secondo concetto chiave di Peano \u00e8 quello di successore<\/b>. Dato un numero naturale qualsivoglia n<\/i>, il secondo assioma afferma che ce n’\u00e8 sempre un altro associato, indicato come Sn<\/i>. Per dirla in modo forse pi\u00f9 comprensibile, “quello che viene dopo”. Il terzo assioma specifica meglio il concetto di successore, imponendo che due numeri naturali diversi abbiano successori diversi; quindi se abbiamo un numero che sappiamo essere un successore, sappiamo anche esattamente di quale altro numero \u00e8 il successore. Il quarto assioma serve poi a dare uno status ancora pi\u00f9 importante allo 0; afferma infatti che 0 non \u00e8 successiore di alcun numero. Questo assioma \u00e8 necessario, perch\u00e9 potrebbe per esempio capitare – come nell’aritmetica modulare – che dopo le 23 l’orologio passa a segnare le ore 0.<\/p>\n