{"id":2404,"date":"2011-06-05T10:59:52","date_gmt":"2011-06-05T08:59:52","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2404"},"modified":"2022-10-10T22:43:20","modified_gmt":"2022-10-10T20:43:20","slug":"il-teorema-che-fermat-sbaglio","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/06\/05\/il-teorema-che-fermat-sbaglio\/","title":{"rendered":"Il teorema che Fermat sbagli\u00f2"},"content":{"rendered":"

Generalmente le affermazioni matematiche di Pierre de Fermat si sono rivelate esatte, anche se nel caso del suo Ultimo Teorema ci sono voluti tre secoli per avere una dimostrazione che non solo non sarebbe potuta essere scritta nei margini della sua copia dell’Aritmetica di Diofanto ma richiede molta pi\u00f9 matematica di quanta fosse nota ai suoi tempi. Ma c’\u00e8 un caso in cui si \u00e8 sbagliato del tutto! Il grande “matematico dilettante” francese asser\u00ec infatti che i numeri della forma 22n<\/i><\/sup><\/sup>+1, che nel seguito indicher\u00f2 come Fn<\/i><\/sub> per comodit\u00e0, sono tutti primi. A onor del vero, Fermat non scrisse mai di avere una dimostrazione di quel fatto, ma si limit\u00f2 a fare una congettura; resta il fatto che tale congettura non poteva essere pi\u00f9 sbagliata! Ma andiamo con ordine.<\/p>\n

Ancora oggi, scomporre in fattori primi un numero non \u00e8 un compito agevole se il numero \u00e8 molto grande, tanto che i moderni algoritmi di crittografia sfruttano proprio questa impossibilit\u00e0 pratica. Ai tempi di Fermat non \u00e8 che la situazione fosse migliore, anzi: quando il calcolatore era una persona che lavorava con carta e penna \u00e8 facile immaginare come gi\u00e0 fattorizzare un numero dell’ordine del miliardo era un compito improbo, soprattutto se si temeva che quel numero fosse primo. In effetti i primi “numeri di Fermat”, come sono spesso noti, sono primi: F0<\/sub> = 220<\/sup><\/sup>+1 = 21<\/sup>+1 \u00e8 uguale a 3, F1<\/sub> = 221<\/sup><\/sup>+1 = 22<\/sup>+1 \u00e8 5, F2<\/sub> = 222<\/sup><\/sup>+1 = 24<\/sup>+1 \u00e8 17, F3<\/sub> = 223<\/sup><\/sup>+1 = 28<\/sup>+1 \u00e8 257, F4<\/sub> = 224<\/sup><\/sup>+1 = 216<\/sup>+1 \u00e8 65537. Ma F5<\/sub>, cio\u00e8 225<\/sup><\/sup>+1 = 232<\/sup>+1 = 4.294.967.297 era davvero grande per l’epoca, e non stiamo nemmeno a vedere i successivi, visto che F6<\/sub> \u00e8 un numero di venti cifre e il numero di cifre degli Fn<\/i><\/sub> raddoppia a ogni nuovo elemento. Insomma, non veniva chiss\u00e0 quale voglia di mettersi a testa bassa a fare divisione dopo divisione per vedere se prima o poi si sarebbe ottenuto un quoziente esatto; \u00e8 vero che Galileo aveva gi\u00e0 demolito il concetto classico di scienza \u00abSe l’ha detto Aristotele allora \u00e8 vero\u00bb passando al metodo sperimentale, ma \u00e8 anche vero che ci sono esperimenti ed esperimenti, e di Fermat ci si fidava per non fare troppa fatica.<\/p>\n

Poi \u00e8 arrivato Eulero, che tra l’altro inizialmente non era nemmeno cos\u00ec interessato alla teoria dei numeri: a spingerlo a lavorare in quel campo \u00e8 stato Christian Goldbach – quello della congettura omonima, s\u00ec – che invece era un convinto fan, pur non sapendo spesso da che parte iniziare per dimostrare un teorema. In pratica, come afferm\u00f2 il grande matematico del secolo scorso Andre Weil, si pu\u00f2 quasi dire che buona parte delle opere di Eulero nella teoria dei numeri consistono nella dimostrazione dei teoremi che Fermat aveva semplicemente enunciato. Dimostrazione o refutazione, come in questo caso: nel 1732 egli fece infatti notare come F5<\/sub> sia il prodotto di 641 per 6.700.417 (che \u00e8 un numero primo, per la cronaca). Eulero era molto bravo a fare i conti, ma era anche molto bravo a trovare delle scorciatoie per farne il minor numero possibile; in fondo a questo post – per non spaventare i meno inclini a vedere formule, anche se basta avere fatto i primi anni delle superiori per poter seguire il procedimento – vi spiego come ha fatto.<\/p>\n

Prima di passare alla dimostrazione, per\u00f2, voglio ancora raccontare due cose al proposito. Nei quasi quattro secoli dopo Eulero le tecniche di fattorizzazione si sono affinate e soprattutto sono arrivati i calcolatori: \u00e8 stato cos\u00ec possibile studiare nuovi numeri di Fermat. Si \u00e8 scoperto che F6<\/sub> \u00e8 divisibile per 274.177; nel 1905 si \u00e8 dimostrato che F7<\/sub> era composto, anche se non se ne conoscevano ancora i fattori – e ci credo: solo nel 1971 si arriv\u00f2 a trovare il pi\u00f9 piccolo dei suoi fattori, che \u00e8 un numero di “sole” 17 cifre. A oggi, secondo Wikipedia<\/a>, sono stati fattorizzati completamente solo i numeri di Fermat fino a F11<\/sub>, oltre a risultati abbastanza incredibili come quello che afferma che F2.478.782<\/sub> ha un fattore primo di 746.190 cifre; si sa che tutti i numeri di Fermat fino a F32<\/sub> non sono primi e ad ogni modo non si conosce nessun<\/b> altro numero di Fermat primo. Capite perch\u00e9 dicevo che la congettura di Fermat \u00e8 al momento quanto di pi\u00f9 errato possibile?<\/p>\n

La seconda curiosit\u00e0 \u00e8 geometrica. Forse ricordate dai tempi di scuola che data una circonferenza \u00e8 possibile costruire con riga e compasso alcuni particolari poligoni regolari, come triangolo, quadrato, pentagono, esagono, mentre per altri poligoni come l’eptagono (il poligono di sette lati) o l’ennagono (nove lati) esistono solo costruzioni approssimate. I greci avevano dimostrato come costruire tutti i poligoni con un numero di lati i cui fattori fossero solo 2 (quanti ne vogliamo), 3 (al massimo una volta) e 5 (anch’esso al massimo una volta). La situazione rest\u00f2 immutata fino al 1796, quando un giovane non ancora ventenne costru\u00ec con riga e compasso l’eptadecagono regolare, il poligono di 17 lati, e dimostr\u00f2 quali erano tutti e soli i poligoni regolari costruibili con riga e compasso. Il giovane era Carl Friederich Gauss, insomma non esattamente l’ultimo arrivato; ma la cosa pi\u00f9 incredibile \u00e8 che i fattori primi dispari permessi per il numero di lati (come dicevo sopra, ci possono essere quanti fattori 2 vogliamo: a bisecare un angolo sono capaci tutti) sono precisamente i numeri di Fermat primi. Non che qualcuno si sia mai messo a costruire un 65537–agono, anche perch\u00e9 partendo da una circonferenza di raggio un metro il suo lato sarebbe lungo circa un decimo di millimetro (lo sapevate calcolare anche voi, vero?); ma sicuramente, anche se si trovasse un nuovo numero di Fermat primo, sarebbe cos\u00ec enorme che anche con una circonferenza grande come tutto l’universo il lato del poligono regolare corrispondente sarebbe molto, molto, molto minore della pi\u00f9 piccola distanza concepibile nell’universo stesso. Insomma, la teoria e la pratica divergerebbero davvero!<\/p>\n

E ora, come promesso, lo schema della dimostrazione di Eulero, come raccontata nel libro Journey through Genius<\/i> di William Dunham: libro assolutamente consigliato, tra l’altro. Innanzitutto un Teorema A che sapete sicuramente risolvere da soli: se a<\/i> \u00e8 un numero pari e p<\/i> un primo che non divide a<\/i> ma divide a<\/i>+1, allora p<\/i> \u00e8 della forma 2k<\/i>+1. Vero che non devo dimostrarvelo?<\/p>\n

Ora iniziamo le cose un po’ pi\u00f9 difficili, con il Teorema B: se a<\/i> \u00e8 un numero pari e p<\/i> un primo che non divide a<\/i> ma divide a<\/i>2<\/sup>+1, allora p<\/i> \u00e8 della forma 4k<\/i>+1. Come dimostrarlo? Beh, se a<\/i> \u00e8 pari, lo \u00e8 anche a<\/i>2<\/sup>, e quindi per il Teorema A il nostro p<\/i> \u00e8 della forma 2k<\/i>+1. \u00c8 gi\u00e0 un inizio: per\u00f2 i numeri 2k<\/i>+1 possono essere della forma 4k<\/i>+1 oppure 4k<\/i>+3. Supponiamo che sia di quest’ultima forma, e cerchiamo una contraddizione. Visto che p<\/i> non divide a<\/i>, il piccolo teorema di Fermat afferma che a<\/i>p<\/i>−1<\/sup> \u00e8 congruo a 1 modulo p<\/i>, cio\u00e8 che p<\/i> divide a<\/i>p<\/i>−1<\/sup>−1 e cio\u00e8 a<\/i>4k<\/i>+2<\/sup>−1. Ma per ipotesi p<\/i> divide a2<\/sup><\/i>+1 e quindi divider\u00e0<\/p>\n

(a2<\/sup><\/i>+1)(a<\/i>4k<\/i><\/sup> − a<\/i>4k<\/i>−2<\/sup> + a<\/i>4k<\/i>−4<\/sup> − … + a<\/i>4<\/sup> − a<\/i>2<\/sup> + 1)<\/p>\n

che se si ha la costanza di fare il prodotto vale a<\/i>4k<\/i>+2<\/sup>+1. Pertanto divider\u00e0 anche la differenza <\/p>\n

(a<\/i>4k<\/i>+2<\/sup>+1) − (a<\/i>4k<\/i>+2<\/sup>−1) = 2<\/p>\n

Oops… ma p<\/i> \u00e8 un primo dispari. Come fa a dividere 2? La nostra ipotesi per assurdo \u00e8 falsa, e quindi il Teorema B \u00e8 dimostrato.<\/p>\n

Passiamo ora al Teorema C, che afferma che se a<\/i> \u00e8 un numero pari e p<\/i> un primo che non divide a<\/i> ma divide a<\/i>4<\/sup><\/i>+1, allora p<\/i> \u00e8 della forma 8k<\/i>+1. Vi ricorda qualcosa? La dimostrazione \u00e8 simile a quella del Teorema B: si vede subito che p<\/i> pu\u00f2 solo essere della forma 8k<\/i>+1 oppure 8k<\/i>+5, e in questo secondo caso si usa il piccolo teorema di Fermat e un prodotto notevole per arrivare a una contraddizione. Lasciatemi evitare di andare avanti con le lettere dell’alfabeto appiccicate ai teoremi: dovrebbe essere chiaro che se a<\/i> \u00e8 un numero pari e p<\/i> un primo che non divide a<\/i> ma divide a2n<\/i><\/sup><\/sup><\/i>+1, allora p<\/i> \u00e8 della forma 2n<\/i>+1<\/sup>k<\/i>+1.<\/p>\n

Toh. Allora i divisori primi di 232<\/sup>+1 devono essere della forma 64k<\/i>+1. Cominciando con k<\/i>=1 ed eliminando i numeri non primi (come per esempio 64+1=65) si scopre che Eulero dovette testare solo cinque numeri prima di trovare il fattore giusto: 193, 257, 449, 577 e appunto 641. Molto meno lavoro di quanto si potesse temere!<\/p>\n

Non so voi, ma questa dimostrazione mi ha lasciato di stucco. Seguirla non \u00e8 per nulla difficile, l’unico punto di una certa qual complicazione \u00e8 conoscere il piccolo teorema di Fermat (ah, l’ironica sorte! \u00c8 Fermat stesso a sconfessare Fermat). Per\u00f2 sfido chiunque a osare affermare che ci sarebbe arrivato da solo. D’altra parte, Eulero \u00e8 ben Eulero, no? Ad ogni modo, vi confesso che \u00e8 anche per cose come queste che la matematica mi appassiona; molti ci vedranno solo aridi conti, per me \u00e8 un meccanismo a orologeria dove tutti i tasselli vanno al loro posto, proprio come in un giallo di Agatha Christie.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Il grande matematico francese congettur\u00f2 che tutti i numeri di una certa atruttura fossero primi. Si era sbagliato, e di grosso!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2404","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-CM","jetpack-related-posts":[{"id":756,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2016\/03\/18\/il-premio-abel-2016-a-sir-andrew-wiles\/","url_meta":{"origin":2404,"position":0},"title":"Il premio Abel 2016 a sir Andrew Wiles","author":".mau.","date":"18\/03\/2016","format":false,"excerpt":"Il suo contributo non sar\u00e0 forse stato \"profondo\", ma sicuramente ha avuto un'enorme influenza.","rel":"","context":"In \"Andew Wiles\"","block_context":{"text":"Andew Wiles","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/andew-wiles\/"},"img":{"alt_text":"[Mica capita a tutti di avere un edificio a proprio nome!]","src":"http:\/\/www.abelprize.no\/aim\/dnva\/75\/52\/storage\/file.image.jpg\/Scale?geometry=516x510","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2481,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/02\/23\/quando-i-matematici-sbagliano\/","url_meta":{"origin":2404,"position":1},"title":"Quando i matematici sbagliano","author":".mau.","date":"23\/02\/2012","format":false,"excerpt":"Perch\u00e9 preoccuparsi delle smentite in fisica? 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