Se avete in mano La settimana enigmistica<\/i>, state risolvendo un cruciverba e vi trovate la definizione “il numero perfetto”, penso che non avrete alcun dubbio, e scriverete TRE. Questo a meno che non siate amanti della numerologia; in questo caso probabilmente scriverete lo stesso TRE ma vi chiederete perch\u00e9 mai ci sia questa convenzione. In matematica, infatti, il concetto di numero perfetto \u00e8 rigidamente definito, e il numero tre non ne fa certo parte.<\/p>\n
Come sapete, ogni numero intero ha un certo insieme di divisori, i numeri per i quali pu\u00f2 essere diviso esattamente. Cosa succede se sommiamo tutti i divisori di un numero, tranne esso stesso che \u00e8 s\u00ec divisore ma improprio? Si danno tre casi. Pu\u00f2 darsi che la somma dei divisori sia inferiore al numero stesso, come nel caso di 10; i suoi divisori sono 1, 2 e 5 e la loro somma \u00e8 8. Numeri di questo tipo si dicono difettivi<\/b>; una volta li si chiamava “deficienti”, ma poi il politically correct ha prevalso… Pu\u00f2 darsi che la somma sia superiore, come nel caso di 42; i suoi divisori sono 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 la cui somma \u00e8 54. Numeri di questo tipo si dicono abbondanti<\/b>. Ma pu\u00f2 anche darsi che la somma sia esattamente uguale al numero stesso, come nel caso di 6 (divisori 1, 2, 3) oppure 28 (divisori 1, 2, 4, 7, 14). In questo caso il numero viene detto perfetto<\/b>, e i pitagorici lo tenevano in gran conto… anche perch\u00e9 ce ne sono davvero pochi.<\/p>\n
Gi\u00e0 Euclide aveva dimostrato che se k<\/i> \u00e8 un numero tale che 2k<\/i><\/sup>−1 (che scriver\u00f2 spesso come Mk<\/i><\/sub>, per ragioni che vi saranno chiare tra poco) \u00e8 primo, allora il numero 2k<\/i>−1<\/sup>(2k<\/i><\/sup>−1) \u00e8 perfetto. I primi valori di k<\/i> per cui questo succede sono 2, 3, 5, 7 che danno rispettivamente i numeri perfetti 6, 28, 496, 8128. Se pensate che il successivo numero perfetto corrisponda al valore k<\/i>=11, vi devo dare una brutta notizia: 2047 non \u00e8 primo, essendo il prodotto di 23 per 89. Per\u00f2 avete avuto una buona idea: si pu\u00f2 dimostrare facilmente che perch\u00e9 Mk<\/i><\/sub> sia primo bisogna che k<\/i> sia primo, anche se come abbiamo visto non vale necessariamente il viceversa. Meglio ancora, Eulero ha dimostrato che tutti i numeri perfetti pari sono di questa forma: diventa pertanto importante, magari non per il barista all’angolo ma almeno per un matematico, scoprire per quali valori di k<\/i> abbiamo Mk<\/i><\/sub> primo. Il primo a tirare fuori una lista di tali valori \u00e8 stato l’abate gesuita Marin Mersenne, un Martin Gardner del XVII secolo; pi\u00f9 che per essere un bravo matematico, era infatti un punto di contatto per il gotha del tempo, smistando per l’Europa i risultati che gli venivano scritti. La lista di Mersenne non era del tutto corretta, e in seguito diversi matematici corressero gli errori; fortunatamente, vista l’enormit\u00e0 dei numeri in gioco, esiste un algoritmo relativamente (molto<\/i> relativamente) rapido per testare la primalit\u00e0 di un numero di quella forma, e il bello \u00e8 che \u00e8 un algoritmo adattissimo per i computer e soprattutto pu\u00f2 essere diviso tra pi\u00f9 persone. Esiste infatti un progetto di calcolo distribuito, GIMPS<\/a> (Great Internet Mersenne Primes Search) che appunto sfrutta la CPU inutilizzata dei computer per trovare nuovi primi di Mersenne e quindi numeri perfetti. Le ultime scoperte arrivano dal GIMPS. Attualmente conosciamo 47 numeri perfetti, con il pi\u00f9 grande pari a 243.112.608<\/sup>×(243.112.609<\/sup>−1) e composto da sole 25.956.377 cifre; non sappiamo nemmeno se ce ne sia un numero finito o infinito. <\/p>\n Qualche lettore pi\u00f9 attento magari si sar\u00e0 chiesto «Bene, tutto questo va bene per i numeri perfetti pari. Ma esistono anche numeri perfetti dispari?». La risposta, assolutamente precisa, \u00e8 «Boh.» Non si sa se ne esistano, ma nessuno \u00e8 riuscito a dimostrarne l’impossibilit\u00e0, anche se si sa che una bestia simile deve avere almeno nove fattori primi distinti, 75 fattori primi complessivi, pi\u00f9 di trecento cifre, oltre a possedere una serie di propriet\u00e0 tali per cui nel diciannovesimo secolo James Sylvester afferm\u00f2 che se mai ne esistesse uno sarebbe praticamente un miracolo. Una curiosit\u00e0: nessun numero perfetto pu\u00f2 essere divisibile per 105.<\/p>\n E se ci accontentassimo di qualcosa di meno della perfezione? Si pu\u00f2 per esempio provare a vedere cosa succede con il numero 220. \u00c8 un numero abbondante: i suoi divisori propri sono 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 la cui somma \u00e8 284. Calcoliamo ora i divisori di 284: sono 1,2,4,71,142 la cui somma \u00e8… 220. Abbiamo cos\u00ec due numeri in un certo senso speculari rispetto alla funzione “somma dei divisori”; numeri di questi tipo si chiamano amicabili<\/b>. La coppia (220,284) \u00e8 la pi\u00f9 piccola di numeri amicabili; quella successiva \u00e8 (1184,1210) e venne scoperta da un tale Nicol\u00f2 Paganini (no, nessuna parentela), essendo sfuggita a tutti i matematici che avevano lavorato su questo tipo di numeri. Prima dei calcolatori elettronici si conoscevano poche migliaia di coppie di numeri amicabili; ora i dati pi\u00f9 recenti che ho trovato (met\u00e0 2010) dicono che esistono almeno 11.994.387 di coppie. Insomma, c’\u00e8 una discreta disponibilit\u00e0!<\/p>\n Generalizzando ancora di pi\u00f9, proviamo a calcolare la somma dei divisori propri di 12496: otteniamo 14288; ripetendo l’operazione si arriva prima a 15472, poi a 14536, a 14264, e finalmente ritorniamo a 12496. Il ciclo \u00e8 pi\u00f9 lungo, siamo arrivati all’ordine 5; ma pur sempre \u00e8 un ciclo; si parla in questo caso di numeri socievoli<\/b>. Non si conosce nessun ciclo di ordine 3 di numeri socievoli; quello qui sopra \u00e8 l’unico di ordine 5, mentre se ne hanno 165 di ordine 4, 5 di ordine 6, 2 di ordine 8, 1 di ordine 9 e un incredibile gruppo di ordine 28, che inizia da 14316.<\/p>\n La maggior parte dei numeri per\u00f2 \u00e8 piuttosto monotona in questo senso: continuando a calcolare la somma dei divisori propri, si arriva a un certo punto a un numero primo, che poi va a 1 e infine a 0. Restano fuori da questa suddivisione i cosiddetti numeri ambiziosi<\/b> (aspiring number<\/i>), come per esempio 95; iterando la somma dei suoi divisori si arriva prima a 25, poi a 6 e qui ci si ferma, o meglio si continua a riottenere 6. Insomma, i numeri ambiziosi vorrebbero tanto essere perfetti, ma non ce la fanno subito! Una congettura di Eug\u00e8ne Catalan afferma che non ci sono altre possibilit\u00e0, ma esistono numeri – il pi\u00f9 piccolo \u00e8 276 – per cui l’operazione sembra poter andare avanti all’infinito ottenendo valori (in genere) sempre crescenti. Ma per l’appunto anche questa congettura non \u00e8 affatto dimostrabile.<\/p>\n Anche in questo caso, insomma, abbiamo l’effetto pratico di cosa succede in teoria dei numeri: si parte da operazioni semplicissime, e non si sa per nulla cosa si ottiene. \u00c8 il bello (o il brutto…) della matematica!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" I numeri perfetti hanno affascinato matematici e non fin dal tempo degli antichi greci, e ancora oggi ci sono computer che vanno alla caccia di nuovi esemplari. Ma ci si pu\u00f2 anche accontentare di meno.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2394","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-CC","jetpack-related-posts":[{"id":460,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/02\/06\/mersenne-48\/","url_meta":{"origin":2394,"position":0},"title":"Mersenne 48","author":".mau.","date":"06\/02\/2013","format":false,"excerpt":"\u00c8 stato scoperto un nuovo numero primo di Mersenne, o se preferite un nuovo numero perfetto.","rel":"","context":"In \"attualit\u00e0\"","block_context":{"text":"attualit\u00e0","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/attualita\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2446,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/10\/21\/numeri-altamente-composti\/","url_meta":{"origin":2394,"position":1},"title":"Numeri altamente composti","author":".mau.","date":"21\/10\/2011","format":false,"excerpt":"Basta con le divisioni che non terminano mai! 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