{"id":2390,"date":"2011-03-12T06:30:23","date_gmt":"2011-03-12T05:30:23","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2390"},"modified":"2022-10-10T22:36:53","modified_gmt":"2022-10-10T20:36:53","slug":"pi-greco-questo-sconosciuto","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/03\/12\/pi-greco-questo-sconosciuto\/","title":{"rendered":"pi greco, questo sconosciuto"},"content":{"rendered":"

Qualche settimana fa, scherzando ma nemmeno troppo, ho raccontato del Comitato per l’abolizione di pi greco<\/a>. Chiss\u00e0, magari qualcuno lo spererebbe davvero, visto che quel benedetto numero lo si trova dappertutto. Sarebbe per\u00f2 un peccato, perch\u00e9 pi greco (π) ha una storia davvero molto interessante.<\/p>\n

Innanzitutto π \u00e8 un numero trascendente, il che non significa che si arrabbia facilmente ma molto pi\u00f9 banalmente che non si pu\u00f2 ottenere con un numero finito di operazioni aritmetiche usuali (le quattro operazioni) e nemmeno come risultato di un’equazione polinomiale a coefficienti interi. Gli antichi greci non avevano ovviamente idea del concetto di numero trascendente, \u00e8 gi\u00e0 tanto se concepivano un numero non intero; per\u00f2 subodoravano lo stesso che c’era qualcosa di strano nel rapporto tra circonferenza e diametro del cerchio, tanto che assieme alla trisezione dell’angolo e alla duplicazione del cubo la quadratura del cerchio era il terzo dei problemi insoluti della matematica. Quadrare il cerchio non significa naturalmente dargli delle martellate, ma bens\u00ec costruire con riga e compasso un quadrato di area pari a quella di un cerchio dato. In teoria lo si poteva anche costruire: la quadratrice di Ippia \u00e8 l\u00ec a provarlo. Ma la quadratrice (il nome \u00e8 gi\u00e0 un programma di suo, vero?) viene costruita con un procedimento continuo, quindi \u00e8 fuori discussione per i nostri scopi. Ah: per la cronaca, nemmeno la duplicazione del cubo e la trisezione dell’angolo sono possibili con riga e compasso; ma in questo caso i numeri necessari sono pi\u00f9 semplici, richiedendo solo l’estrazione di una radice cubica, e quindi basterebbe semplicemente una riga graduata o un compasso che non si richiuda una volta sollevato dal foglio e che quindi permetta di riportare delle distanze. Pi greco no, \u00e8 un numero davvero ostico.<\/p>\n

Il secondo passo da farsi, mentre si dibatteva la possibilit\u00e0 di costruire effettivamente un segmento lungo π unit\u00e0 – la risposta negativa arriver\u00e0 solamente nel 1882 con Lindemann – era trovare un valore approssimato. Archimede si mise di buzzo buono, da ottimo praticone qual era, e approssimando un cerchio per mezzo di poligoni con un numero via via maggiore di lati arriv\u00f2 a stabilire che π era compreso fra 3 + 1\/7 e 3 + 10\/71: nella notazione decimale (che lui non usava ma noi s\u00ec) equivale a dire che \u00e8 circa 3,14. Si possono per\u00f2 fare approssimazioni migliori con poca fatica. Scrivete per esempio due volte di fila i primi tre numeri dispari 113355 e inserite a met\u00e0 una barra di divisione, lasciando la parte destra sopra e quella sinistra sotto. Ottenete 355\/113, che vale circa 3,1415929. Una stupefacente approssimazione di π a ben sei cifre decimali: ben pi\u00f9 precisa degli errori che si possono fare con un disegno, dove le linee hanno per forza di cose uno spessore non nullo. Il bello \u00e8 che questa approssimazione, come dice Wikipedia<\/a>, era gi\u00e0 nota al matematico cinese Zu Chongzhi pi\u00f9 di 1500 anni fa!<\/p>\n

Il passo successivo, almeno in Europa, arriv\u00f2 ben dopo il Rinascimento, e consistette nello scoprire che c’erano alcune serie infinite che, se si aveva abbastanza pazienza, permettevano di ricavare π con quante cifre si volesse. La formula di Gregory-Leibniz (conosciuta in India con tre secoli di anticipo…) stabilisce per esempio<\/p>\n

\nπ\/4 = 1 – 1\/3 + 1\/5 – 1\/7 + 1\/9 …\n<\/p><\/blockquote>\n

e non serve a nulla in pratica perch\u00e9 la convergenza \u00e8 troppo lenta: occorre sommare (o sottrarre…) 4000 termini per migliorare la stima di Archimede. Anche la serie di Wallis,<\/p>\n

\nπ\/2 = 2 · 2\/3 · 4\/3 · 4\/5 · 6\/5 · 6\/7 …\n<\/p><\/blockquote>\n

non serve a molto, ma nel 1706 John Machin ricav\u00f2 la formula<\/p>\n

\nπ\/4 = 4 arctan(1\/5) – arctan(1\/239)\n<\/p><\/blockquote>\n

il che, accoppiata alla serie che permette di ricavare arctan(x), risulta convergere in modo relativamente veloce. Cos\u00ec nel 1873 un certo William Shanks riusc\u00ec a calcolare ben 707 cifre decimali di π, record che rest\u00f2 imbattuto fino all’avvento degli elaboratori elettronici dopo la seconda guerra mondiale… quando si scopr\u00ec che Shanks aveva commesso un errore sulla 528ma cifra (e ovviamente tutte le seguenti). Un corollario di questo errore fu che la “stanza pi greco” del Palais de la d\u00e9couverte a Parigi, dove erano state dipinte sul soffitto le 707 cifre conosciute, dovette ricevere un rapido restauro!<\/p>\n

In un certo senso, i computer rovinarono la poesia di π, usandolo pi\u00f9 o meno come gargarismo per vedere se i circuiti funzionavano bene. Nel 1949 l’ENIAC calcol\u00f2 2000 decimali in 70 ore; nel 1959 si arriv\u00f2 a 10000 cifre; nel 1961 si sfond\u00f2 il muro delle 100.000 cifre. Poi ci fu il diluvio. Nel 1989 si calcolarono un miliardo<\/b> di cifre; dieci anni dopo il record pass\u00f2 a 200 miliardi; e a quanto pare<\/a> il record attuale \u00e8 di cinque trilioni (cinquemila miliardi) di cifre, calcolate con un computer casalingo costruito appositamente. Non che serva a molto, come non serve a molto l’orologio mostrato qua<\/a>. Ma volete mettere?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Pi greco \u00e8 un numero che appare fin troppo spesso in matematica. Ma conoscete la storia delle sue approssimazioni?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2390","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Cy","jetpack-related-posts":[{"id":2576,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/03\/14\/trova-il-pi-greco\/","url_meta":{"origin":2390,"position":0},"title":"Trova il pi greco!","author":".mau.","date":"14\/03\/2013","format":false,"excerpt":"In Gran Bretagna provano a calcolare pi greco in maniera molto probabilistica.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":159,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/03\/11\/come-calcolare-pi-greco-a-furia-di-rimbalzi\/","url_meta":{"origin":2390,"position":1},"title":"Come calcolare pi greco a furia di rimbalzi","author":".mau.","date":"11\/03\/2014","format":false,"excerpt":"un calcolatore analogico per trovare le cifre di pi greco","rel":"","context":"In \"approssimazioni\"","block_context":{"text":"approssimazioni","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/approssimazioni\/"},"img":{"alt_text":"[due palle un soldo]","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/03\/pi-palle-300x200.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":777,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2016\/05\/13\/quante-cifre-di-pi-greco-ci-servono-davvero-pillole\/","url_meta":{"origin":2390,"position":2},"title":"Quante cifre di pi greco ci servono davvero? [Pillole]","author":".mau.","date":"13\/05\/2016","format":false,"excerpt":"nemmeno poi tante","rel":"","context":"In \"approssimazioni\"","block_context":{"text":"approssimazioni","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/approssimazioni\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2432,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/31\/numeri-razionali-irrazionali-algebrici-e-trascendenti\/","url_meta":{"origin":2390,"position":3},"title":"Numeri razionali, irrazionali, algebrici e trascendenti","author":".mau.","date":"31\/08\/2011","format":false,"excerpt":"I numeri pi\u00f9 naturali dopo i naturali sono i razionali. Lo dice la parola stessa, no?","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":585,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/06\/25\/rompicapi-piu-matematici\/","url_meta":{"origin":2390,"position":4},"title":"Rompicapi pi\u00f9 matematici di quanto sembri","author":".mau.","date":"25\/06\/2015","format":false,"excerpt":"Questi quizzini sono molto pi\u00f9 interessanti dal punto di vista matematico e informatico di quanto possa sembrare a prima vista.","rel":"","context":"In \"funzioni\"","block_context":{"text":"funzioni","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/funzioni\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":460,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/02\/06\/mersenne-48\/","url_meta":{"origin":2390,"position":5},"title":"Mersenne 48","author":".mau.","date":"06\/02\/2013","format":false,"excerpt":"\u00c8 stato scoperto un nuovo numero primo di Mersenne, o se preferite un nuovo numero perfetto.","rel":"","context":"In \"attualit\u00e0\"","block_context":{"text":"attualit\u00e0","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/attualita\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2390","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2390"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2390\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2391,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2390\/revisions\/2391"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2390"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2390"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2390"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}