{"id":2386,"date":"2011-03-04T00:03:58","date_gmt":"2011-03-03T23:03:58","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2386"},"modified":"2022-10-10T22:35:34","modified_gmt":"2022-10-10T20:35:34","slug":"il-paradosso-di-monty-hall","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/03\/04\/il-paradosso-di-monty-hall\/","title":{"rendered":"Il paradosso di Monty Hall"},"content":{"rendered":"

Di paradossi in matematica, veri o presunti, ce ne sono tanti. Ma sono pochi quelli che possono avere al loro attivo un libro interamente dedicato a essi, come il paradosso di Monty Hall. L’esposizione del paradosso \u00e8 piuttosto semplice, ma occorre stare estremamente attenti alla formulazione, perch\u00e9 cambiare una sola parola pu\u00f2 modificare completamente la soluzione!<\/p>\n

Innanzitutto il testo per cos\u00ec dire \u201cufficiale\u201d del problema, dove ho solo cambiato alcuni nomi (Monty Hall \u00e8 stato un presentatore televisivo americano, ma tanto lui non ha mai presentato quel gioco…). Gerry Scotti presenta il suo quiz preserale, Chi vuol essee ferrarista?<\/i>. Questa volta il concorrente siete voi; avete sbaragliato il campo e alla prova finale vi trovate davanti a tre porte: dietro una di esse si trova una Ferrari, dietro le altre due una fotografia di una Ferrari. Gerry vi fa scegliere una porta, e voi indicate la numero 1; poi, come tutte le volte in cui un concorrente \u00e8 arrivato in fondo, sfoggia il suo miglior sorriso e ci dice \u00abMa ne \u00e8 proprio sicuro? Guardi, lei mi \u00e8 simpatico (non si sa come, tutti gli sono simpatici…) e voglio aiutarla. Adesso le apro una porta che non le sarebbe piaciuto scegliere, visto che l\u00ec dietro c’\u00e8 solo la foto della Ferrari\u00bb. E in effetti apre la porta numero 3, dove c’\u00e8 effettivamente solo una foto. \u00abBene!\u00bb, prosegue il presentatore, \u00abora la scelta \u00e8 pi\u00f9 limitata. Se vuole, togliamo 500 euro dal suo montepremi e le permettiamo di cambiare la scelta. \u00c8 un’offertona! Che ne pensa?\u00bb Voi sapete che nelle puntate precedenti Gerry Scotti ha sempre fatto quell’offerta, che ogni volta \u00e8 stata effettivamente aperta una porta senza Ferrari e che il presentatore non sembra avere una predilezione per una porta particolare. Che fareste?<\/p>\n

La gente a cui questo scenario viene presentato per la prima volta si divide in due gruppi: quelli che pensano che dopo l’apertura di una porta le probabilit\u00e0 di ciascuna delle due porte rimaste crescano allo stesso modo al 50%, e quindi non cambierebbero certo la propria scelta, e quelli che invece preferiscono cambiare porta, ritenendo di avere un vantaggio. Vi dico subito che la risposta corretta \u00e8 quest’ultima, qualunque cosa ne possiate pensare; cambiare porta raddoppia le vostre possibilit\u00e0 di vincita! Come pu\u00f2 succedere una cosa del genere? Beh, il punto fondamentale \u00e8 che bisogna fare molta attenzione alla formulazione del problema. Vediamo alcune varianti del problema, con un loro risultato distinto.<\/p>\n

– Se il presentatore non sa dov’\u00e8 la porta che nasconde la Ferrari, potrebbe aprirla per sbaglio. Il buon andamento del programma ne risentirebbe, in effetti; ma supponendo che nella puntata che stiamo osservando questo non sia capitato, a questo punto entrambe le porte rimaste hanno la stessa probabilit\u00e0 di essere quella giusta.
\n– Se il presentatore non offre sempre la possibilit\u00e0 di cambiare porta, potrebbe darsi che stavolta lo faccia cercando di dissuadervi dalla vostra scelta iniziale, per evitare di far sforare il budget della trasmissione; quindi vi potrebbe convenire non cambiare porta.
\n– Se sapete che il presentatore ama aprire se possibile la porta numero 1, voi avete scelto la porta numero 2 e stavolta apre la numero 3, \u00e8 probabile che la porta 1 sia quella giusta.
\n– Se una persona totalmente ignara di come funziona la trasmissione accende la TV dopo la proposta del presentatore, e vede solo due porte senza conoscere quella scelta in precedenza dal concorrente, per lui una porta o l’altra pari sono.<\/p>\n

Da questi esempi potreste aver capito che calcolare la probabilit\u00e0 di un evento, nel nostro caso la posizione della Ferrari, dipende dalla conoscenza a priori che noi abbiamo; un’ovviet\u00e0 che per\u00f2 spesso viene dimenticata. Nella formulazione del problema che io ho dato, il presentatore in alcuni casi ha delle scelte forzate; visto che per ipotesi deve sempre aprire una porta, se noi abbiamo scelto una delle due porte senza Ferrari lui non pu\u00f2 fare altro che aprire l’altra. A questo punto possiamo metterci a fare i conti esplicitamente. Immaginiamo di scegliere la porta numero 1 (negli altri due casi il ragionamento \u00e8 naturalmente lo stesso); immaginiamo inoltre di avere seicento universi paralleli, in ciascuno dei quali le scelte avvengono a caso. Insomma, in duecento universi la Ferrari \u00e8 dietro la porta numero 1, in altri duecento dietro la numero 2, e negli ultimi duecento dietro la porta numero 3. Nel secondo caso i duecento presentatori paralleli ci apriranno la porta numero 3, e a noi converr\u00e0 cambiare scelta; nel terzo caso ci apriranno la porta numero 2, e di nuovo a noi converr\u00e0 cambiare porta; ma nel primo caso ci saranno cento presentatori (e non duecento!) che aprono la porta numero 2 e altri cento che aprono la 3. In tutti i casi cambiare scelta risulter\u00e0 esiziale, ma sono solo duecento i cloni che sono stati fregati, contro i quattrocento che si fregano le mani. Insomma, cambiare porta va bene due volte su tre.<\/p>\n

\"\"<\/a>Se non siete ancora convinti della validit\u00e0 del ragionamento, vi propongo una scommessa. Scegliete un’estrazione del lotto. Come forse sapete, vengono estratti tre volte la settimana cinque numeri tra 1 e 90 su undici ruote distinte, per un totale di 55 numeri. Le estrazioni non sono completamente indipendenti tra loro, visto che un numero non pu\u00f2 apparire due volte sulla stessa ruota, ma non dovrebbe essere un gran problema… e se lo fosse scegliete cinque estrazioni consecutive prendendo solo il primo estratto di ciascuna ruota. Dividiamo i numeri in tre classi: quelli da 1 a 30 nella classe 1, quelli da 31 a 60 nella 2, quelli da 61 a 90 nella X; vostro compito \u00e8 fare 55 predizioni su qual \u00e8 la classe del numero estratto, il che \u00e8 equivalente a scegliere la porta vincente fra le tre possibilit\u00e0. Io faccio il Monty Hall della situazione; per ciascuna vostra scelta guarder\u00f2 i risultati prima di voi e vi indicher\u00f2 una classe che sicuramente non \u00e8 quella giusta, cio\u00e8 aprir\u00f2 una porta senza premio. Siete d’accordo che la situazione \u00e8 equivalente al problema di Monty Hall? Se no, ditemi il perch\u00e9 e ne discutiamo; se s\u00ec, e siete convinti che cambiare scelta sia ininfluente, accetterete indubbiamente di fare 55 scommesse a 1.10 contro 1; per ogni estratto, se avete indovinato vi do 11 euro, altrimenti me ne date 10 voi.<\/p>\n

Per la cronaca, propongo tante scommesse per ridurre la probabilit\u00e0 di colpi di fortuna; \u00e8 chiaro che sul singolo caso non ha molto senso scommettere. In media, direbbe Trilussa, vincerete ventisette volte e mezzo e perderete altrettante volte; il vostro guadagno medio sar\u00e0 dunque di 27 euro e mezzo. Non moltissimo, ma nemmeno qualcosa da buttare via. Se preferite una scommessa fissa, possiamo fare cos\u00ec: se di questi 55 casi ne vincete 25 o pi\u00f9 vi dar\u00f2 10 euro, se ne vincete 24 o meno li darete a me. Non c’\u00e8 trucco non c’\u00e8 inganno! Anzi, se avete accettato la scommessa posso permettermi il lusso di dirvi cosa vi dir\u00f2: guardate l’algoritmo qui a fianco. Il fatto che il mio algoritmo sia completamente deterministico (non ho nessuna scelta nel dirti quale classe non \u00e8 stata estratta) e che io esprima la mia scelta dopo aver saputo i risultati sono i punti chiave nella definizione del modello.<\/p>\n

Due curiosit\u00e0: la prima presentazione del paradosso, almeno a quanto ne so, \u00e8 stata fatta dal solito Martin Gardner nella sua rubrica sullo Scientific American, addirittura nel 1959! Trovate il problema dei tre prigionieri nel secondo volume dei suoi Enigmi e giochi matematici<\/em>. Il libro sul paradosso di Monty Hall \u00e8 questo<\/a>; lo consiglio vivamente a chi \u00e8 interessato a questo tipo di paradossi, visto che \u00e8 un’ottima lettura per chi voglia addentrarsi nel regno del calcolo delle probabilit\u00e0 con una guida sicura.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Il paradosso delle tre porte \u00e8 uno dei pi\u00f9 famosi, e soprattutto uno di quelli che genera le discussioni pi\u00f9 accese: \u00e8 stato persino scritto un libro al riguardo. Molti dubbi si possono forse dissolvere se si presta bene attenzione alla sua formulazione: basta cambiare una parola e la soluzione \u00e8 diversa.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2386","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Cu","jetpack-related-posts":[{"id":2596,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/24\/il-paradosso-delle-due-monete-pillole\/","url_meta":{"origin":2386,"position":0},"title":"Il paradosso delle due monete [Pillole]","author":".mau.","date":"24\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Se lanciate una moneta fino a che non esce testa, potete essere molto sfortunati e morire prima di farcela (oppure trovare qualcuno che vi confischi la moneta); 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