{"id":2370,"date":"2011-01-06T15:07:26","date_gmt":"2011-01-06T14:07:26","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2370"},"modified":"2022-10-10T22:28:56","modified_gmt":"2022-10-10T20:28:56","slug":"probabilita-improbabili","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/01\/06\/probabilita-improbabili\/","title":{"rendered":"Probabilit\u00e0 improbabili"},"content":{"rendered":"

Un problemino piuttosto noto, anche se probabilmente non in questa incarnazione, inizia con un prigioniero che viene portato dal maharaja che gli comunica che, in onore di una qualche divinit\u00e0, intende dargli una possibilit\u00e0 di essere liberato. Ma a differenza dei suoi colleghi principi che amano i giochi di logica, il maharaja preferisce un approccio diverso. Essendo un appassionato di scacchi, spiega al prigioniero che dovr\u00e0 giocare tre partite a scacchi, alternativamente contro di lui e il visir. Se il prigioniero riuscir\u00e0 a vincere due partite consecutive, verr\u00e0 liberato; altrimenti continuer\u00e0 ad apprezzare le locali celle. A questo punto il prigioniero chiede chi sar\u00e0 il suo primo avversario, al che il maharaja con un sorrisetto risponde «scegli pure tu, te l’ho detto che oggi sono di buonumore». Sapendo che il visir ha un punteggio ELO migliore di quello del maharaja e quindi \u00e8 l’avversario pi\u00f9 ostico, cosa conviene fare al povero prigioniero?<\/p>\n

Molte persone, sentito l’enunciato del problema, non hanno dubbi. \u00c8 meglio iniziare a giocare col maharaja, dicono; in questo modo si hanno maggiori possibilit\u00e0 di vittoria. Il ragionamento \u00e8 perfetto; peccato che non valga per questo problema ma per un altro un po’ diverso. Se il maharaja avesse chiesto che il prigioniero vincesse due partite qualsiasi<\/b>, in effetti conviene giocarsi le proprie chances \u00ecn questo modo. Ma il poveretto deve vincere due partite consecutive<\/b>! Se numeriamo le tre partite 1,2,3 dovrebbe risultare chiaro che le uniche possibilit\u00e0 per il nostro consistono nel vincere 1 e 2, oppure vincere 2 e 3, o ancora vincerle tutte e tre. In ciascuno dei casi \u00e8 necessario aver vinto la seconda partita: quindi \u00e8 in quella che conviene affrontare il giocatore pi\u00f9 debole, e pertanto il primo avversario dovrebbe essere il visir.<\/p>\n

\"\"<\/a>D’accordo: questo problema, soprattutto dopo aver visto la spiegazione logica, non \u00e8 poi cos\u00ec paradossale. Passiamo dunque a qualcosa di pi\u00f9 incredibile. Immaginiamo un club con dieci soci, le cui abilit\u00e0 a tennis sono ordinate per forza crescente da 1 (che chiameremo colloquialmente S per schiappa) a 10 (il signor C, il campione). Immaginiamo anche che quando due giocatori si incontrano vinca sempre il pi\u00f9 forte, per semplificarci la vita. Un giorno C propone a S di fare un torneo a squadre, tre contro tre: ognuno incontrer\u00e0 tutti i componenti dell’altra squadra. Per equilibrare i valori in campo, S potr\u00e0 prendere con s\u00e9 i due migliori altri giocatori, quelli con forza 8 e 9, mentre C si accontenter\u00e0 delle viceschiappe, di forza 2 e 3. Il risultato del torneo si vede nella parte in alto a sinistra della tabella: la squadra di S perder\u00e0 comunque 5 a 4. Dopo un mesetto – passato non tanto ad allenarsi a tennis quanto a studiare teoria della probabilit\u00e0 – S propone la rivincita a C. Per\u00f2, soggiunge, stavolta inseriamo nelle squadre anche gli altri quattro giocatori; visto che l’altra volta era stato lui a prendere i migliori, questa volta ci si alterner\u00e0, con la prima scelta a C. Pertanto i due di forza 7 e 5 finiranno nella squadra di C mentre S si piglier\u00e0 quelli di forza 6 e 4. C, stupito, accetta la nuova sfida: peccato che stavolta il successo arrider\u00e0 alla squadra di S, che vincer\u00e0 13 a 12 come vedete nella tabella completa.<\/p>\n

Come \u00e8 possibile tutto questo? Uno pu\u00f2 anche accettare che nel primo caso, anche se i pesi relativi sembrerebbero in favore della squadra di S, siano gli altri a vincere: magari c’\u00e8 un qualche effetto moltiplicativo per cui la forza del campione e la debolezza della schiappa siano maggiori di quanto dicano i numeri. Ma allora perch\u00e9 nella seconda sfida il risultato si ribalta? La risposta \u00e8 proprio quella accennata sopra. Quando si aggiungono giocatori alle squadre \u00e8 vero che gli incontri tra di essi hanno un risultato pari alla loro forza relativa, ma bisogna anche tenere conto delle altre partite, quelle dei nuovi entrati contro i giocatori originali. Nel primo caso C vincer\u00e0 sempre e S perder\u00e0 sempre; nel secondo la squadra di S ha due vincitori, quelli di forza 8 e 9, contro il singolo C.<\/p>\n

Qualcosa di simile si ha in medicina, quando scoprire che un certo gruppo di persone ha una data malattia pu\u00f2 far crescere la speranza di vita sia dei malati che delle persone sane! Per vedere meglio come funziona il paradosso, lo sposto in un ambito meno pernicioso. Immaginiamo di avere due squadre di basket, una di persone molto alte e una di tappetti, e che tutti i giocatori della prima delle squadre siano pi\u00f9 alti di ciascuno di quelli della seconda squadra. Inutile dire che la squadra dei piccoli gioca in un campionato dove l’altezza massima dei giocatori \u00e8 fissata a un metro e 70. L’anno successivo per\u00f2 le regole cambiano, e il limite d’altezza \u00e8 fissato a 1,80 m. Il presidente della societ\u00e0, visto che tanto la squadra dei grandi \u00e8 sovradimensionata, decide di spostare i giocatori alti tra 170 e 180 cm nella squadra dei piccoli. Ma in questo modo l’altezza media di quest’ultima squadra \u00e8 cresciuta, visto che abbiamo aggiunto elementi pi\u00f9 alti di quelli gi\u00e0 esistenti; e d’altra parte l’altezza media della squadra degli alti \u00e8 anche cresciuta, visto che abbiamo tolto gli elementi pi\u00f9 bassi. Un miracolo? No, solo le solite magie della probabilit\u00e0.<\/p>\n

Termino con un ultimo esempio tratto dal libro Nonplussed!<\/i><\/a>, da cui mi sono pesantemente ispirato per questo post, e a cui vi rimando per tutti i conti, tecnicamente semplici ma noiosi, per dimostrare quest’ultimo paradosso. Torniamo al tennis, e immaginiamo di avere due giocatori molto bravi: ciascuno dei quali, quando \u00e8 al servizio, conquista il punto con una probabilit\u00e0 del 92%. Bene: non ci crederete ma chi ha il servizio ha maggiore probabilit\u00e0 di vincere un gioco all’inizio, quando cio\u00e8 entrambi i giocatori sono sullo 0-0, di quando sta conducendo<\/b> 40-30! No, non mi sono sbagliato: chi serve \u00e8 in vantaggio, gli basta un solo punto per aggiudicarsi il gioco, e in genere quel punto lo sa fare, mentre l’avversario ne deve fare tre pi\u00f9 di lui; per\u00f2 “rischia” maggiormente di perderlo! Ho messo il rischio tra virgolette perch\u00e9 la probabilit\u00e0 di vincere il gioco \u00e8 in entrambi i casi maggiore del 99,9%, e quindi la discussione pu\u00f2 sembrare oziosa, ma \u00e8 il principio quello che conta. Facendo un grafico della probabilit\u00e0 di vittoria nei due casi al variare della abilit\u00e0 di servizio, si vede che un po’ oltre il 91% la curva corrispondente alla situazione iniziale supera l’altra.<\/p>\n

Anche in questo caso c’\u00e8 una spiegazione perfettamente logica al paradosso, spiegazione che pu\u00f2 anche essere vista intuitivamente seppur con un poco di fatica. In pratica, se chi ha il servizio riesce quasi sempre a fare il punto \u00e8 vero che \u00e8 estremamente improbabile che l’avversario che \u00e8 sotto 40-30 riesca ad andare prima sul 40-40 e poi aggiudicarsi il gioco; ma \u00e8 anche vero che dallo 0-0 chi serve ha parecchio pi\u00f9 tempo a disposizione per recuperare nel caso l’avversario riesca fortunosamente a fare qualche punto, mentre nell’altro caso si \u00e8 oramai troppo in l\u00e0.<\/p>\n

Di paradossi probabilistici ce ne sono ancora molti altri, e ne presenter\u00f2 ancora altri in futuro. Per il momento accontentatevi di meditare su questi!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Il calcolo delle probabilit\u00e0 \u00e8 pieno di risultati a prima vista paradossali, ma perfettamente corretti una volta che ci si mette a fare i conti. Ecco alcuni esempi, il primo facile e gli altri forse pi\u00f9 sconcertanti.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2370","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Ce","jetpack-related-posts":[{"id":505,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/01\/21\/il-dilemma-del-viaggiatore\/","url_meta":{"origin":2370,"position":0},"title":"Il dilemma del viaggiatore","author":".mau.","date":"21\/01\/2015","format":false,"excerpt":"La teoria (dei giochi) \u00e8 tanto bella, ma la pratica spesso fa a pugni con la teoria. 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