{"id":2368,"date":"2010-12-31T02:30:49","date_gmt":"2010-12-31T01:30:49","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2368"},"modified":"2022-10-10T22:33:12","modified_gmt":"2022-10-10T20:33:12","slug":"risposte-ai-problemini-natalizi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/12\/31\/risposte-ai-problemini-natalizi\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemini natalizi"},"content":{"rendered":"

Ecco qua le risposte ai problemini<\/a> che avevo lasciato il giorno di Natale.<\/p>\n

1. Quadrati e radici quadrate<\/b>
\nLa funzione f(n<\/i>)=(n<\/i>+√n<\/i>) \u00e8 crescente, e la differenza tra i valori corrispondenti a due interi successivi \u00e8 sicuramente compresa tra 1 e 2. Preso un qualunque quadrato (k<\/i>+1)2<\/sup>, mostriamo come ci siano due valori consecutivi n<\/i> e n<\/i>+1 tali che rispettivamente f(n<\/i>) < (k<\/i>+1)2<\/sup> – 1\/2 e f(n<\/i>+1) > (k<\/i>+1)2<\/sup> + 1\/2, e quindi i valori arrotondati saranno rispettivamente (k<\/i>+1)2<\/sup> – 1 e (k<\/i>+1)2<\/sup> + 1. Pi\u00f9 precisamente che possiamo prendere n<\/i>=k<\/i>2<\/sup>+k<\/i>.
\nLa prima disuguaglianza infatti si pu\u00f2 scrivere come k<\/i>2<\/sup>+k<\/i> + √(k<\/i>2<\/sup>+k<\/i>) < (k<\/i>+1)2<\/sup> – 1\/2 = k<\/i>2<\/sup>+2k<\/i> + 1\/2, da cui √(k<\/i>2<\/sup>+k<\/i>) < k<\/i> + 1\/2; prendendo il quadrato, abbiamo k<\/i>2<\/sup> + k<\/i> < k<\/i>2<\/sup> + k<\/i> + 1\/4, banalmente vero. Per la seconda disuguaglianza, abbiamo k<\/i>2<\/sup>+k<\/i>+1 + √(k<\/i>2<\/sup>+k<\/i>+1) > (k<\/i>+1)2<\/sup> + 1\/2 = k<\/i>2<\/sup>+2k<\/i> + 3\/2, da cui √(k<\/i>2<\/sup>+k<\/i>+1 ) > k<\/i> + 1\/2; prendendo i quadrati anche in questo caso, otteniamo k<\/i>2<\/sup> + k<\/i> + 1 > k<\/i>2<\/sup> + k<\/i> + 1\/4, di nuovo banalmente vero. QED.
\nNel caso vi chiedeste come mi siano venute in mente queste disuguaglianze, la risposta \u00e8 semplicissima: ho provato a calcolare i primi valori di round(n<\/i>+√n<\/i>), fino a n<\/i>=15, e ho ricavato una legge empirica di quello che sembrava accadere. A questo punto, sapendo dove volevo arrivare, \u00e8 stato relativamente facile fare i conti.
\nUltima curiosit\u00e0: avrei anche una dimostrazione (quasi) senza parole per la prima disuguaglianza, che purtroppo non si pu\u00f2 applicare alla seconda. Riuscite a trovarla?
\n(via Math-Frolic!<\/a>)<\/p>\n

2. Potenze di cinque<\/b>
\n25 = 52<\/sup>
\n125 = 51 + 2<\/sup>
\n625 = 56 – 2<\/sup>
\n3125 = (3 + (1 × 2))5<\/sup>
\n15625 = 56<\/sup> × 125<\/sup>
\n78125 = 57<\/sup> × 182<\/sup>
\n(via Futility Closet<\/a>)<\/p>\n

3. Rosso e blu<\/b>
\nCostruite un triangolo equilatero di lato 1: i suoi tre vertici dovranno necessariamente avere tre colori diversi.
\n\"nove<\/a>
\nQual \u00e8 il numero minimo di colori necessario per ricoprire il piano senza che ci siano due punti dello stesso colore a distanza esattamente 1? Non lo so. Nella figura sopra si vede una colorazione che richiede nove colori. I quadrati sono di lato 0,7, quindi due punti nello stesso quadrato sono a distanza minore di 1, mentre due punti in quadrati distinti dello stesso colore sono a distanza maggiore di 1. Ma si puo fare sicuramente di meglio :-)
\n(via Futility Closet<\/a>; l’estensione \u00e8 mia)<\/p>\n

4. Volta la carta<\/b>
\nScambiate di posto le due carte in basso (l’8 e il 9) avendo cura di ribaltarle di 180 gradi, in modo che diventino un 6 e un 8. A questo punto entrambe le colonne avranno come somma 18.
\nSe qualcuno obietta che non \u00e8 lecito ruotare le carte, potete comunque trovare una soluzione che preveda solo traslazioni e muove quattro carte! Spostate il 3 dalla colonna di destra a quella di sinistra, e spostate 4 e 9 in una nuova colonna<\/i>. Controllate pure il testo originale: c’\u00e8 scritto \u00abdi tutte le file\u00bb, non \u00abdelle due file\u00bb… Oppure, se preferite fare in altro modo, scambiate di posto il 5 e il 9 e mettete l’1 a sinistra<\/i> del 2 per ottenere un 12. In questo modo, la somma delle due colonne \u00e8 24. Controllate pure il testo originale: c’\u00e8 scritto \u00abla somma dei numeri\u00bb, e 12 \u00e8 indubbiamente un numero…
\n(via Smart Kit<\/a>, a cui ho rubato anche la figura; ma il problema risale almeno a Henry Dudeney. Le altre soluzioni sono mie)<\/p>\n

5. La generazione dei quadrati<\/b>
\nLa soluzione \u00e8 mostrata qui sotto. Vi siete accorti che c’\u00e8 anche un quadrato di lato due fiammiferi, vero?
\n\"\"<\/a>
\n(un problema classico, chiss\u00e0 chi l’ha proposto la prima volta… anche se in genere lo si vede alla rovescia)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ecco le risposte ai problemini di Natale!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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