{"id":2356,"date":"2010-11-19T02:30:43","date_gmt":"2010-11-19T01:30:43","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2356"},"modified":"2022-10-10T22:03:27","modified_gmt":"2022-10-10T20:03:27","slug":"gli-assiomi-dimenticati-da-euclide","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/11\/19\/gli-assiomi-dimenticati-da-euclide\/","title":{"rendered":"Gli assiomi dimenticati da Euclide"},"content":{"rendered":"

Abbiamo visto<\/a> come la geometria iperbolica prima e quella ellittica poi sono state definite per conto proprio e si siano affiancate alla geometria euclidea. Ma non tutti erano poi cos\u00ec convinti della cosa; spesso capita che un insieme di definizioni a prima vista coerenti portino a un certo punto a una contraddizione, e magari il fatto che il rapporto tra diametro e circonferenza non sia costante sarebbe potuto essere la chiave di volta per affermare la realt\u00e0 della geometria euclidea per rappresentare il nostro spazio, o almeno per poter stabilire quale delle tre geometrie fosse quella naturale.<\/p>\n

\"rette<\/a>Ma proprio la circonferenza sar\u00e0 in un certo senso alla base della risposta – negativa – alla domanda se si possa decidere quale delle ormai tre geometrie possibili fosse quella “vera”. Il trucco \u00e8 stato quello di trovare un modello<\/b> delle altre due geometrie; detto in altro modo, una costruzione deve punti, rette, circonferenze non sono affatto quelli a cui siamo abituati ma qualcosa di diverso. Anche questa sembra un’eresia, vero? Per\u00f2 basta tornare agli assiomi di Euclide e accorgersi che lui non aveva mica definito come era fatta una retta, se non dicendo che ha una sola dimensione. Qualche decennio dopo quel gaudente di David Hilbert, che conosceva bene sia la geometria che i ristoranti, sentenzi\u00f2 \u00abMan mu\u00df jederzeit an Stelle von “Punkten, Geraden, Ebenen”, “Tische, St\u00fchle, Bierseidel” sagen k\u00f6nnen.», cio\u00e8 «Si pu\u00f2 sempre dire, al posto di “punti, rette, piani“, “tavoli, sedie, boccali di birra”»; ma per il momento ci accontentiamo di usare enti geometrici solo un po’ diversi da quelli usuali.<\/p>\n

\"tassellazione<\/a>Il modello per la geometria ellittica riemanniana ce l’abbiamo sotto gli occhi; \u00e8 la superficie terrestre. Se costruiamo il triangolo sferico con l’equatore e i meridiani 0° e 90° vediamo subito che ha ben tre angoli retti: un’esagerazione! Per far funzionare questa geometria su una superficie sferica, occorre definire come “punto” una coppia di punti agli antipodi, come “retta” un cerchio massimo e come “piano” la superficie sferica. Facendo cos\u00ec, tutti gli altri postulati euclidei sono verificati tranne l’ultimo, visto che due “rette” qualsiasi si incontrano sempre in un “punto”. Ma come, mi direte, se faccio una ferrovia circumterrestre dove un binario \u00e8 l’equatore non ho forse due rette parallele? La risposta \u00e8 no; sapete dirmi cosa abbiamo invece?<\/p>\n

\"rette<\/a>Per la geometria iperbolica il modello \u00e8 un po’ pi\u00f9 complicato: come “piano” si prende un cerchio (il disco di Poincar\u00e9<\/b>) senza la sua circonferenza esterna, e si definiscono “rette” gli archi di circonferenza che tagliano perpendicolarmente il bordo del cerchio. Almeno i punti sono quelli soliti a cui siamo abituati. Ma stavolta le “rette” hanno davvero una lunghezza finita! E invece no, perch\u00e9 la distanza<\/b> tra due punti si misura in modo diverso dal nostro, e decresce esponenzialmente avvicinandosi alla circonferenza esterna (che non c’\u00e8 perch\u00e9 \u00e8 all’infinito, dal punto di vista degli abitanti bidimensionali del piano iperbolico) In pratica, anche se a noi sembra che i triangoli disegnati nel piano iperbolico oltre ad essere storti si rimpiccioliscano man mano, un omino iperbolico che camminasse su quel piano li vedrebbe tutti con i lati diritti e della stessa lunghezza. Il piano iperbolico piacque moltissimo a Mauritz Cornelius Escher, che lo us\u00f2 come base per alcune delle sue opere come i quattro Circle Limit<\/i> (vedi qua<\/a> per i disegni)<\/p>\n

Il fatto che si possa creare un modello della geometria ellittica e di quella iperbolica all’interno dello spazio euclideo ha come conseguenza che se la geometria euclidea \u00e8 consistente allora anche le altre due lo sono. Notate che non si dice nulla sulla consistenza assoluta<\/b>; nessuno \u00e8 stato in grado di dimostrare che gli assiomi euclidei siano consistenti e non \u00e8 nemmeno detto che sia possibile farlo, anche se tutti i matematici sono convinti di s\u00ec. Quello che si dice \u00e8 che le tre geometrie hanno la stessa valenza, e il sogno di Saccheri e di tutti quelli come lui di trovare una contraddizione viene cos\u00ec brutalmente infranto. L’unico modo per scoprire qual \u00e8 la geometria dello spazio \u00e8 quello empirico provato anche da Gauss: trovare un triangolo sufficientemente grande e misurare la somma dei suoi angoli. Oppure, se proprio si \u00e8 teorici dentro, si pu\u00f2 definire un universo che richieda una certa geometria: \u00e8 quello che fece per esempio Einstein con la relativit\u00e0 generale, dove quella che noi crediamo essere la forza di gravit\u00e0 \u00e8 in realt\u00e0 una distorsione dello spazio-tempo e quindi una geometria variabile da punto a punto. <\/p>\n

Ma pi\u00f9 che queste cose, la vera utilit\u00e0 delle geometrie non euclidee \u00e8 forse stata il rendersi conto che gli Elementi<\/i> di Euclide non erano poi quel concentrato di precisione come si era creduto nei due millenni successivi. I cinque pi\u00f9 cinque assiomi e postulati scelti dal matematico greco infatti non sono affatto sufficienti; per esempio nel 1882 il matematico svizzero Moritz Pasch not\u00f2 che da essi non discendeva affatto la propriet\u00e0 che una retta che tagliava un lato di un triangolo doveva necessariamente tagliare un lato diverso (oppure il vertice comune agli altri due lati). Questo e altri assiomi, come quelli relativi all’ordinamento dei punti su una retta, vennero aggiunti da Hilbert; gli assiomi di Hilbert<\/a> sono venti e non dieci, e a quanto pare riescono finalmente ad assiomatizzare completamente la geometria. \u00c8 stato un duro lavoro, ma qualcuno lo doveva pur fare…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dopo aver scoperto la geometria ellittica e quella iperbolica, i matematici hanno anche trovato dei loro modelli nello spazio euclideo, mostrando cos\u00ec come ness. Da l\u00ec si \u00e8 giunti a scoprire come le fondazioni della geometria non erano poi cos\u00ec solide.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2356","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-C0","jetpack-related-posts":[{"id":445,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/13\/prima-di-godel\/","url_meta":{"origin":2356,"position":0},"title":"Prima di G\u00f6del…","author":".mau.","date":"13\/09\/2011","format":false,"excerpt":"I teoremi di incompletezza di G\u00f6del hanno segnato la fine della sicurezza che i matematici hanno avuto per 2500 anni. 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