Abbiamo visto in precedenza come il quinto postulato di Euclide ha generato per secoli e secoli discussioni e libri che in un modo o nell’altro cercavano di dimostrarlo partendo dagli altri assiomi e postulati, il tutto senza ottenere alcun risultato. Come capita spesso, arriva un momento in cui i tempi sono maturi e pi\u00f9 persone, ciascuna per conto proprio, arrivano a proporre una rivoluzione. Per la geometria questo punto di svolta \u00e8 l’inizio del XIX secolo.<\/p>\n
L’approccio di Saccheri, partire cio\u00e8 dalla negazione del quinto postulato per derivare una contraddizione, seguiva comunque la via matematica usuale. Per\u00f2 il fatto stesso che i teoremi dimostrati da Saccheri fossero strani ma coerenti fece s\u00ec che alcuni matematici osassero immaginare l’inimmaginabile; che cio\u00e8 non fosse obbligatorio accettare il quinto postulato, ma lo si potesse sostituire con un altro essenzialmente diverso. <\/p>\n
A posteriori possiamo affermare che il primo ad avere scritto qualcosa al riguardo fu J\u00e1nos Bolyai. Il cognome vi ricorda nulla? Ebbene s\u00ec, J\u00e1nos \u00e8 il figlio di Wolfgang o Farkas che dir si voglia, l’amico di Gauss a cui il principe dei matematici scrisse nel 1799 dicendo che era meglio lasciar stare quei temi. J\u00e1nos svilupp\u00f2 la sua teoria tra il 1820 e il 1823; \u00e8 di quel periodo una sua lettera al padre in cui scriveva «Dal nulla ho creato un altro, nuovo universo». Solo nel 1832 per\u00f2 vennero pubblicate le sue scoperte, nella Appendice che espone in maniera assoluta la vera scienza nello spazio<\/em> che come dice il nome stesso era l’appendice a un manuale scolastico di matematica scritto dal padre. Bolyai figlio nutr\u00ec sempre un risentimento verso Gauss, che a suo dire voleva rubargli la paternit\u00e0 della scoperta.<\/p>\n Ma la prima pubblicazione che parl\u00f2 esplicitamente di geometrie non euclidee non fu di Bolyai, bens\u00ec del matematico russo Nikolaj Ivanovi\u010d Loba\u010devskij che inizialmente scrisse una breve nota in francese nel 1826, e nel 1829 complet\u00f2 la sua trattazione intitolata “Sui principi della geometria”, dove veniva esposta quella che in seguito verr\u00e0 definita geometria iperbolica per motivi che vedremo tra un po’. Il guaio di Loba\u010devskij fu l’essere ben lontano dai centri nevralgici della matematica della prima met\u00e0dell’Ottocento: avesse almeno pubblicato nei rendiconti dell’Universit\u00e0si san Pietroburgo la notizia si sarebbe sparsa pi\u00f9 in fretta, mentre cos\u00ec ci vollero parecchi anni prima che i suoi scritti diventassero di dominio comune. Lo stesso, se non peggio, accadde per il povero Bolyai: chi volete leggesse l’appendice di un manuale per studenti ungheresi? Probabilmente nemmeno gli studenti stessi!<\/p>\n Una volta rotta la diga che teneva ferma l’unicit\u00e0 della geometria, le cose sono poi andate avanti per conto proprio. Nel 1854 Bernhard Riemann, quello pi\u00f9 noto per la sua ipotesi sulla distribuzione dei numeri primi, per ottenere la nomina a Privatdozent discusse una dissertazione dal titolo Sulle ipotesi che giacciono alle fondazioni della geometria<\/i>. Il suo relatore era l’ormai anziano Gauss, che sarebbe morto l’anno successivo; il grande matematico colse l’occasione di avere un brillantissimo allievo per fargli riprendere tutto quello che lui aveva studiato ma non pubblicato pi\u00f9 di mezzo secolo prima. Riemann stup\u00ec tutti definendo un approccio alla geometria completamente diverso da quello ritenuto inevitabile per quasi venticinque secoli; da l\u00ec tir\u00f2 tra l’altro fuori una geometria del piano ancora diversa, quella in cui non esistono rette parallele a una retta data per un punto esterno. <\/p>\n Ma come? L’altra volta non avevo scritto che gi\u00e0 Saccheri aveva elimitato quell’ipotesi perch\u00e9 andava contro l’assioma secondo cui una retta \u00e8 infinita? Se avete pensato a qualcosa del genere avete una memoria ottima, ma non troppo. Euclide non aveva affatto detto che una retta \u00e8 infinita, ma che la si poteva prolungare a piacere. Bene, esistono esempi di linee illimitate ma non infinite; pensiamo ad esempio a una circonferenza. La circonferenza \u00e8 indubbiamente una curva finita, ma come mostrato delle 24 ore di Le Mans ci si pu\u00f2 girare su a piacere senza mai vederne la fine, per l’ottima ragione che non c’\u00e8 nessuna fine.<\/p>\n Abbiamo cos\u00ec trovato tre geometrie essenzialmente diverse. A seconda che di parallele per un punto a una retta ce ne siano nessuna, una, o pi\u00f9 di una abbiamo per esempio che la somma degli angoli di un triangolo \u00e8 minore, uguale o maggiore a un angolo piatto; che il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio \u00e8 maggiore, uguale o minore di pi greco (e quel che \u00e8 peggio, nei casi non euclidei varia al variare del diametro della circonferenza); e via discorrendo. Kant per sua fortuna era morto e sepolto, e non doveva pi\u00f9 chiedersi quale fosse la “vera” geometria del nostro spazio. Altri per\u00f2 volevano sapere la risposta: magari c’era un modo per dimostrare la contraddittoriet\u00e0 di una delle tre geometrie. Vedremo un’altra volta perch\u00e9 non potr\u00e0 essere il caso.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Nel XIX secolo i matematici hanno avuto finalmente il coraggio di accettare l’idea che il postulato delle parallele non fosse necessariamente vero. Nacquero cos\u00ec altre due geometrie con assiomi diversi: quella ellittica e quella iperbolica.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2354","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-BY","jetpack-related-posts":[{"id":404,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/10\/08\/il-quinto-postulato-di-euclide\/","url_meta":{"origin":2354,"position":0},"title":"Il quinto postulato di Euclide","author":".mau.","date":"08\/10\/2010","format":false,"excerpt":"Quello delle geometrie non euclidee \u00e8 un tema che non pu\u00f2 mancare in un blog di divulgazione matematica; il difficile \u00e8 riuscire a dire qualcosa di diverso dal solito. Cominciamo a vedere la storia dei tentativi di dimostrazione.","rel":"","context":"In \"geometria\"","block_context":{"text":"geometria","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/geometria\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":444,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/10\/31\/aritmetica-di-robinson\/","url_meta":{"origin":2354,"position":1},"title":"Aritmetica di Robinson","author":".mau.","date":"31\/10\/2014","format":false,"excerpt":"I teoremi di G\u00f6del vi sembrano troppo complicati? Eccovi un modo molto semplice per trovare una proposizione indecidibile secondo certe regole aritmetiche.","rel":"","context":"In \"assiomi\"","block_context":{"text":"assiomi","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/assiomi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":445,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/13\/prima-di-godel\/","url_meta":{"origin":2354,"position":2},"title":"Prima di G\u00f6del…","author":".mau.","date":"13\/09\/2011","format":false,"excerpt":"I teoremi di incompletezza di G\u00f6del hanno segnato la fine della sicurezza che i matematici hanno avuto per 2500 anni. Cosa \u00e8 successo prima che arrivasse lui?","rel":"","context":"In \"logica\"","block_context":{"text":"logica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/logica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":194,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/05\/gira-la-carta\/","url_meta":{"origin":2354,"position":3},"title":"Gira la carta","author":".mau.","date":"05\/09\/2011","format":false,"excerpt":"Una specie di gioco di prestigio matematico: l'asso galleggia sempre e si porta all'inizio del mazzetto di carte...","rel":"","context":"In \"combinatoria\"","block_context":{"text":"combinatoria","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/combinatoria\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":190,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/07\/16\/il-paradosso-di-san-pietroburgo\/","url_meta":{"origin":2354,"position":4},"title":"Il paradosso di san Pietroburgo","author":".mau.","date":"16\/07\/2010","format":false,"excerpt":"Da un banale gioco a testa o croce non solo si pu\u00f2 arrivare a una vincita potenzialmente infinita, ma addirittura la vincita media \u00e8 infinita!","rel":"","context":"In \"paradossi\"","block_context":{"text":"paradossi","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/paradossi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2630,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/07\/29\/parole-matematiche-modulo\/","url_meta":{"origin":2354,"position":5},"title":"Parole matematiche: modulo","author":".mau.","date":"29\/07\/2013","format":false,"excerpt":"La parola modulo ha la stessa origine di moda. Entrambe sono parole matematiche, ma il loro significato \u00e8 ben diverso!","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2354","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2354"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2354\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2355,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2354\/revisions\/2355"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2354"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2354"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2354"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}