{"id":2348,"date":"2010-10-26T02:30:49","date_gmt":"2010-10-26T00:30:49","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2348"},"modified":"2022-10-10T21:59:22","modified_gmt":"2022-10-10T19:59:22","slug":"la-successione-di-fibonacci","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/10\/26\/la-successione-di-fibonacci\/","title":{"rendered":"La successione di Fibonacci"},"content":{"rendered":"

Leonardo Pisano \u00e8 stato un mercante medievale vissuto a cavallo tra il XII e il XIII secolo. Visto che gli affari sono affari, come usa dire Filo Sganga, pass\u00f2 parte della giovinezza in Algeria dove fu a contatto con i matematici arabi, e contribu\u00ec a portare in Europa le loro scoperte; nel suo Liber abaci<\/i> introdusse ad esempio le cifre arabe. Ma la cosa per cui \u00e8 pi\u00f9 noto \u00e8 un problema all’interno di questo suo opus magnum: «Determinare quanti conigli si avranno alla fine dell’anno partendo da una coppia che sar\u00e0 fertile a partire dal secondo mese, se ogni coppia fertile genera un’altra coppia al mese». La risposta \u00e8 data dai numeri di Fibonacci<\/b>.<\/p>\n

Leonardo infatti \u00e8 pi\u00f9 noto come Fibonacci: non perch\u00e9 fosse figlio di un Bonaccio – suo padre si chiamava Guglielmo – ma perch\u00e9 Bonacci era la sua famiglia. Chiss\u00e0 chi era il suo antenato con quel nome. Il problema dei conigli si risolve vedendo innanzitutto cosa succede di mese in mese. Il primo mese c’\u00e8 una coppia. Il secondo mese continua ad esserci una coppia. Il terzo mese le coppie sono due, visto che quella iniziale ha figliato. Il quarto mese la coppia iniziale figlia ancora, per un totale di tre coppie; il quinto mese le coppie nate sono due, perch\u00e9 i primi conigli nati figlieranno anch’essi – l’incesto evidentemente non viene considerato importante – e si giunge a cinque coppie. Andando avanti si ottiene la successione seguente:<\/p>\n

\n1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …\n<\/p><\/blockquote>\n

nota appunto come successione di Fibonacci<\/a>; quando la si indica simbolicamente, il suo nome \u00e8 F e i vari elementi sono<\/p>\n

\nF1<\/sub>=1, F2<\/sub>=1, F3<\/sub>=2, F4<\/sub>=3, F5<\/sub>=5, F6<\/sub>=8, F7<\/sub>=13, F8<\/sub>=21, F9<\/sub>=34…\n<\/p><\/blockquote>\n

Come sapete, i matematici non sono ancora riusciti a mettersi d’accordo se iniziare a contare da zero oppure da uno: a volte si fa iniziare la successione con uno zero, ma la cosa non d\u00e0 grossi problemi visto che quel termine viene ovviamente chiamato F0<\/sub> e quindi non facciamo confusione con gli indici.<\/p>\n

Il modo pi\u00f9 semplice di definire i numeri di Fibonacci, con l’ulteriore vantaggio di non dover maltrattare alcun coniglio, consiste nell’usare una formula ricorsiva, che cio\u00e8 definisce un elemento dell’insieme mediante altri elementi dell’insieme stesso; elementi si immagina pi\u00f9 “semplici”, altrimenti ci si impelaga sempre di pi\u00f9 un po’ come quando bisogna semplificare un’espressione algebrica. La definizione ricorsiva \u00e8 molto semplice:<\/p>\n

\n♦ F1<\/sub> = F2<\/sub> = 1
\n♦ Fn<\/i>+2<\/sub> = Fn<\/i>+1<\/sub> + Fn<\/i><\/sub> per n<\/i> ≥ 1\n<\/p><\/blockquote>\n

che tornando all’esempio iniziale rappresenta il fatto che il numero di conigli a un certo mese \u00e8 dato da quelli al mese precedente – ah, s\u00ec: mi ero dimenticato di dire che in questo mondo felice i conigli non muoiono n\u00e9 vengono cucinati in salm\u00ec – pi\u00f9 quelli che erano gi\u00e0 vivi due mesi prima e quindi hanno figliato.<\/p>\n

La notazione ricorsiva \u00e8 molto elegante – per i non matematici, «la si scrive in fretta e non usa formule astruse» – ma naturalmente non \u00e8 molto comoda per calcolare il millesimo o il milionesimo numero di Fibonacci. In questi casi ci sono dei metodi pi\u00f9 o meno standard per ricavare una formula “chiusa”, che cio\u00e8 permetta di ricavare il valore di Fn<\/sub> direttamente. Eccovi la formula:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Non spaventatevi di tutte quelle radici quadrate: se volete potete al pi\u00f9 rimanere stupiti che come per magia tutti questi valori irrazionali si annullano tra loro per fornire un risultato intero. Facendo bene attenzione alla formula, ci si accorge facilmente che il secondo addendo, essendo una potenza di un numero compreso tra 0 e −1, serve proprio per aggiungere o togliere quel poco di differenza che serve per ottenere un valore intero a partire dal primo addendo che \u00e8 la vera approssimazione. Le radici di cinque derivano dal rapporto aureo φ, che \u00e8 indissolubilmente legato ai numeri di Fibonacci; andando avanti nella successione, il rapporto tra due termini successivi tende infatti a φ, e lo stesso capita se si parte con due numeri qualsiasi invece che 1 e 1. Ma di questo parler\u00f2 un’altra volta, senn\u00f2 vi stancate subito!<\/p>\n

I numeri di Fibonacci si trovano dappertutto, basta solo farci un po’ di attenzione: esiste addirittura una rivista, The Fibonacci Quarterly<\/a><\/i>, dedicata per l’appunto alle propriet\u00e0 di questi numeri. I torinesi possono guardare in alto sulla Mole Antonelliana per vedere l’installazione di Mario Merz, un altro che andava pazzo per essi; ma esistono anche in natura. Per fare un esempio pratico, contando i semi di un girasole nelle due direzioni naturali che si vedono si hanno due numeri di Fibonacci consecutivi, come 55 e 89 oppure 89 e 144. C’\u00e8 un trucco, naturalmente: non \u00e8 che i girasoli abbiano chiss\u00e0 quali contatti con i conigli, ma pi\u00f9 prosaicamente il posizionamento di questo tipo \u00e8 quello che permette il migliore accesso alle risorse, in questo caso il sole.<\/p>\n

Un’ultima curiosit\u00e0 assolutamente inutile: gli unici numeri di Fibonacci che sono anche delle potenze di numeri interi sono 1, 8 e 144. Vi confesso che non solo non so come si faccia a dimostrarlo, ma credo che non sarei neppure in grado di capirla, la dimostrazione! Anche se la gente in genere non lo crede, anche in matematica ognuno pu\u00f2 trovare il proprio livello di piacevolezza, basta non avere troppa paura di buttarsi…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

I numeri di Fibonacci compaiono nei posti pi\u00f9 inaspettati. Nulla di strano, perch\u00e9 la relazione che li genera \u00e8 molto semplice; ma in ogni caso ci sono delle propriet\u00e0 simpatiche.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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