Assodato che con gli errori bisogna conviverci, il passo successivo \u00e8 capire cosa succede quando si fanno operazioni (esatte…) con numeri che possono essere affetti da un errore. In questo caso si parla di teoria degli errori<\/b>, che \u00e8 una branca della matematica poco nota al grande pubblico ma molto importante soprattutto in questi decenni, da quando cio\u00e8 abbiamo iniziato a usare i computer per ricavare soluzioni numeriche a problemi fisici, e calcolare tali soluzioni in modo iterativo, raffinando man mano i risultati ottenuti. Ricordo che quando studiai queste cose all’universit\u00e0 mi venne dato da implementare un algoritmo veloce ma numericamente instabile per vedere cosa succedeva; la soluzione formale era una superficie piatta, ma gi\u00e0 alla quinta o sesta iterazione dell’algoritmo il grafico che disegnavo sembrava pi\u00f9 che altro l’Himalaya!<\/p>\n
Senza andare cos\u00ec in profondit\u00e0 nei dettagli, vediamo come si pu\u00f2 avere un’idea di qual \u00e8 l’errore totale nelle operazioni pi\u00f9 semplici. Il modo per trovarlo, almeno in teoria, \u00e8 semplice; l’errore \u00e8 subdolo, e quindi l’errore complessivo \u00e8 quello che si ottiene prendendo il caso peggiore possibile degli errori di partenza. Questa affermazione \u00e8 in contrasto con la saggezza popolare che afferma che gli errori si compensano, tranne che nelle partite di calcio; ma credo che molti di voi arrotondino i prezzi delle merci al supermercato all’euro per avere un’idea del conto totale e qualche volta abbiano scoperto che tutti quei prodotti “virgola 49” abbiano fatto loro sbagliare la somma di parecchio. Mettiamo in pratica il principio sommando due numeri positivi a<\/i> e b<\/i> che hanno un errore rispettivo Δa<\/i> e Δb<\/i> (il Δ \u00e8 la lettera greca maiuscola delta e in matematica indica una differenza). Sappiamo che il primo valore \u00e8 compreso tra a<\/i>−Δa<\/i> e a<\/i>+Δa<\/i>, e similmente per secondo; se siamo stati sfortunati, abbiamo sbagliato entrambe le volte per eccesso (oppur entrambe le volte per difetto) e quindi l’errore totale di una somma \u00e8 la somma degli errori. E per la differenza? Non fate l’errore :-)<\/tt> di dire che l’errore della differenza \u00e8 la differenza degli errori! In questo caso, l’evento pi\u00f9 sfortunato ce l’abbiamo se abbiamo sbagliato per eccesso il minuendo e per difetto il sottraendo, e quindi l’errore totale \u00e8 dato anch’esso dalla somma degli errori. Visto che l’errore relativo o percentuale \u00e8 fondamentalmente ottenuto moltiplicando un coefficiente per il valore di partenza, potete facilmente immaginare che nel caso del prodotto di due misure con un errore sia pi\u00f9 semplice usare questo valore piuttosto che quello assoluto; e in effetti l’errore relativo (o percentuale) del prodotto \u00e8 la somma degli errori relativi (o percentuali). Magari a qualcuno sarebbe venuto in mente di dire che l’errore del prodotto fosse il prodotto degli errori, ma questo capita solo perch\u00e9 uno non pensa a quello che gli capita tutti i giorni. Se il nuovo formato della scatola di pelati pesa il 10% in pi\u00f9 ed oggi \u00e8 in offerta al 10% in meno del vecchio prezzo, guadagniamo il 20%, l’1% o il 100%? Resta solo da tenere presente che anche se l’errore relativo \u00e8 effettivamente quello indicato dalla formula, l’intervallo da considerare non \u00e8 pi\u00f9 simmetrico! Ecco un esempio semplicissimo per capire cosa succede. Se abbiamo un quadrato 10×10, l’area \u00e8 100. Se per\u00f2 la misura ha un errore percentuale del 10%, i lati misureranno tra 9 e 11; quindi l’area sar\u00e0 tra 81 e 121. C’\u00e8 s\u00ec un 20% di differenza in pi\u00f9 o in meno, ma non dall’area presunta 100 bens\u00ec da una non meglio identificata “area media” 101. Un piccolo paradosso che per gli usi pratici non \u00e8 poi cos\u00ec importante.<\/p>\n Inutile dire che questo \u00e8 solo l’abc della teoria degli errori; ma \u00e8 quello che basta in pratica per non sbagliare troppo…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" In matematica i conti sono sempre esatti, si sa, a meno che uno non sbagli a farli; ma nel mondo reale quando si prendono le misure si pu\u00f2 sbagliare. Diventa allora importante avere un’idea di quanto si pu\u00f2 al pi\u00f9 sbagliare quando si mettono insieme pi\u00f9 misure.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2346","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-BQ","jetpack-related-posts":[{"id":2580,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/03\/27\/ricondursi-al-caso-precedente\/","url_meta":{"origin":2346,"position":0},"title":"Ricondursi al caso precedente","author":".mau.","date":"27\/03\/2013","format":false,"excerpt":"Quella del titolo \u00e8 una frase tipica da matematico e fa spesso divertire chi matematico non \u00e8, per\u00f2 \u00e8 uno strumento molto potente quando lo si sa usare.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2634,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/09\/06\/quanto-e-irragionevolmente-efficace-la-matematica\/","url_meta":{"origin":2346,"position":1},"title":"Quanto \u00e8 “irragionevolmente efficace” la matematica?","author":".mau.","date":"06\/09\/2013","format":false,"excerpt":"Ogni tanto la banda dei matematici non-platonisti si risveglia. Solo che il matematico tipico di filosofia ne sa ben poca","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2458,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/11\/16\/non-mi-piace-la-fisica\/","url_meta":{"origin":2346,"position":2},"title":"Non mi piace la fisica","author":".mau.","date":"16\/11\/2011","format":false,"excerpt":"Matematici e fisici sono come cani e gatti (di Schr\u00f6dinger?). Ecco il mio punto di vista.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2481,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/02\/23\/quando-i-matematici-sbagliano\/","url_meta":{"origin":2346,"position":3},"title":"Quando i matematici sbagliano","author":".mau.","date":"23\/02\/2012","format":false,"excerpt":"Perch\u00e9 preoccuparsi delle smentite in fisica? Persino in matematica una dimostrazione non \u00e8 sempre corretta.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":1427,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/06\/14\/carnevale-della-matematica-130\/","url_meta":{"origin":2346,"position":4},"title":"Carnevale della matematica #130","author":".mau.","date":"14\/06\/2019","format":false,"excerpt":"ll tema \u00e8 \"notte prima degli esami\", ma in realt\u00e0 si parla di matematica al di fuori degli esami!","rel":"","context":"In \"carnevale della matematica\"","block_context":{"text":"carnevale della matematica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/carnevale-della-matematica\/"},"img":{"alt_text":"logo-carnevale_matematica","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2016\/06\/logo-carnevale_matematica.jpg?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":1503,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/07\/10\/numeri-felici\/","url_meta":{"origin":2346,"position":5},"title":"Numeri felici","author":".mau.","date":"10\/07\/2019","format":false,"excerpt":"una categoria di numeri con propriet\u00e0 facili da studiare... ma non troppo.","rel":"","context":"In \"didattica della matematica\"","block_context":{"text":"didattica della matematica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/didattica-della-matematica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/07\/happynumbers.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2346","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2346"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2346\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2347,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2346\/revisions\/2347"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2346"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2346"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2346"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n![\"l'errore](\"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2010\/10\/errori.png?resize=315%2C258&ssl=1\" "\\"errori\\"")
<\/a>
\nNel caso del prodotto (e della divisione) si possono ricavare delle formule un po’ pi\u00f9 complesse usando la stessa logica; si fa il prodotto (a<\/i>+Δa<\/i>)(b<\/i>+Δb<\/i>), cio\u00e8 il caso peggiore, e si vede la differenza rispetto ad ab<\/i>. Nella figura qui sopra si pu\u00f2 vedere cosa succede in un caso pratico; i rettangoli tratteggiati corrispondono all’errore in un senso o nell’altro, e si intuisce che c’\u00e8 una parte proporzionale alla misura media di ciascun lato moltiplicato per l’errore della misura dell’altro lato<\/i> pi\u00f9 un pezzettino. In questo caso, per\u00f2, nella pratica \u00e8 anche possibile approssimare l’errore parlando di errore relativo<\/b> (o errore percentuale<\/b>, che \u00e8 strettamente correlato). Cominciamo con quest’ultimo, che \u00e8 pi\u00f9 facile da visualizzare perch\u00e9 lo usiamo tutti i giorni. Immaginiamo di dover prendere un chilo di patate da una cesta senza avere una bilancia a disposizione; visto che abbiamo fatto spesso una cosa del genere, siamo fiduciosi di sbagliare al massimo di un etto in pi\u00f9 o in meno. Il nostro mucchietto di patate peser\u00e0 pertanto un chilo con un errore massimo di un etto; per\u00f2 non ci verr\u00e0 certo in mente di esprimerlo cos\u00ec, ma diremo che il mucchietto pesa un chilo con un errore massimo del 10%. Bene, questo 10% \u00e8 l’errore percentuale<\/b>; per ottenere l’errore relativo<\/b> dobbiamo prendere l’errore percentuale e dividerlo<\/i> per cento, con la solita contorta logica matematica che quando trova un per<\/b>cento non moltiplica ma divide.<\/p>\n