{"id":2326,"date":"2010-09-06T14:17:50","date_gmt":"2010-09-06T12:17:50","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2326"},"modified":"2022-10-10T18:43:27","modified_gmt":"2022-10-10T16:43:27","slug":"fullerene","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/09\/06\/fullerene\/","title":{"rendered":"Fullerene"},"content":{"rendered":"

Come ha ricordato la Mucca di Schr\u00f6dinger<\/a>, sabato scorso Google ha modificato il proprio logo, come gli capita spesso di fare per ricordare qualche anniversario. Stavolta c’era una palla arancione che diventava una specie di pallone da calcio stilizzato che poteva essere ruotato a piacere. Il logo per\u00f2 non celebrava l’inizio dei campionati nazionali di calcio, ma i venticinque anni dalla scoperta della molecola del fullerene. Di fullereni ce ne sono per\u00f2 tanti… e tutto per colpa delle regole di geometria solida!<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Innanzitutto ricordo che generalmente quando si parla di fullerene si intende una molecola di carbonio in cui gli atomi sono disposti in maniera particolare, in modo da formare una struttura cava all’interno; l’esempio pi\u00f9 famoso \u00e8 la molecola C60<\/sub>, quella appunto a forma di pallone da calcio la cui struttura \u00e8 formata da dodici pentagoni e venti esagoni e il cui nome completo \u00e8 buckminsterfullerene, dal nome dell’architetto Richard Buckminster \u201cBucky\u201d Fuller che \u00e8 noto per aver introdotto strutture di questo tipo per creare delle cupole leggere e resistenti. Il buckminsterfullerene \u00e8 la versione molecolare pi\u00f9 facile da trovare anche in natura; i chimici sono per\u00f2 riusciti a costruire anche altri tipi di molecole con lo stesso tipo di struttura, e se vogliamo anche i nanotubi sono comunque dei fullereni derivati. Se volete saperne di pi\u00f9, come sempre potete partire da Wikipedia<\/a>.<\/p>\n

Ma la struttura reticolare dei fullereni \u00e8 piuttosto interessante anche da un punto di vista matematico, che \u00e8 poi quello che mi interessa in questa sede. Forse sapete che, mentre ci sono infiniti poligoni regolari – quelli con tutti i lati e gli angoli uguali – i poliedri regolari sono solo cinque: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro. Soprattutto, non esiste nessun poliedro regolare composto da esagoni. La ragione \u00e8 molto semplice: per fare un poliedro si parte da un vertice e bisogna metterci almeno tre poligoni. Ma gli angoli di un esagono regolare sono di 120 gradi: questo significa che con tre esagoni abbiamo riempito il piano e non abbiamo spazio per “alzare” il vertice, come avviene ad esempio con i pentagoni, ottenendo il dodecaedro. Ma questo svantaggio porta a un vantaggio se non siamo interessati ad avere un poliedro regolare<\/i>! Infatti partendo dal dodecaedro in cui in ciascun vertice concorrono esattamente tre pentagoni \u00e8 possibile aggiungere qua e l\u00e0 degli esagoni, che come abbiamo visto non “piegano lo spazio”, e tirare fuori un nuovo solido un po’ meno spigoloso del dodecaedro, che pu\u00f2 andare abbastanza bene come dado per giocare a D&D ma non per dare quattro calci al pallone.<\/p>\n

\"\"<\/a>
grafi di diversi fullereni (da Mathworld)<\/figcaption><\/figure> Il buckminsterfullerene \u00e8 il pi\u00f9 regolare di questi solidi; \u00e8 infatti uno dei tredici solidi archimedei<\/a> e pu\u00f2 essere anche chiamato icosaedro troncato, visto che lo si pu\u00f2 ottenere tagliando via i dodici vertici dell’icosaedro facendo i conti abbastanza bene che i venti esagoni rimanenti e i dodici pentagoni test\u00e8 creati abbiano gli spigoli tutti congruenti. Nella figura qui a fianco, tratta dalla voce Fullerene di Mathworld<\/a>, vediamo alcuni esempi di grafi corrispondenti ad alcuni fullereni; in pratica si \u00e8 tolta loro una faccia e li si \u00e8 spianati. Qualcuno potrebbe stupirsi di vedere anche il dodecaedro, che di esagoni non ne ha, l\u00ec in mezzo; \u00e8 solo l’ennesimo esempio di come l’insieme vuoto non dia nessun problema ai matematici, e anzi venga sempre tenuto in gran conto. Zero esagoni sono “un certo numero di esagoni”, insomma; la cosa pi\u00f9 divertente, se volete, \u00e8 che possiamo ottenere fullereni con un numero pari qualunque di vertici oltre i venti originari del dodecaedro (zero \u00e8 un numero pari, s\u00ec), eccetto due<\/i>. Detto in altro modo, non c’\u00e8 nessun fullerene con 22 vertici. Il numero di poliedri possibili cresce molto velocemente con il numero di vertici, ma naturalmente quasi tutti quelli che si ottengono sono deformi e quindi non certo belli da vedersi; ecco perch\u00e9 nessuno ne parla mai.<\/p>\n

Un’ultima osservazione, chimica e non matematica: se vi siete chiesti com’\u00e8 possibile che il carbonio, che ha valenza 4, possa formare una struttura dove tutti i vertici hanno solo tre spigoli concorrenti la risposta \u00e8 semplice. Gli spigoli in comune con due esagoni hanno un legame doppio, mentre quelli che uniscono un esagono e un pentagono ce l’hanno singolo. Anche stavolta, insomma, la matematica corre in aiuto del mondo reale… o \u00e8 il viceversa?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sabato scorso Google ha ricordato i venticinque anni della scoperta del fullerene modificando il suo logo. Ma quali sono le propriet\u00e0 matematiche della struttura molecolare del fullerene? <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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