{"id":2322,"date":"2010-08-25T02:30:25","date_gmt":"2010-08-25T00:30:25","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2322"},"modified":"2022-10-10T18:41:57","modified_gmt":"2022-10-10T16:41:57","slug":"aritmetica-con-gli-ordinali","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/08\/25\/aritmetica-con-gli-ordinali\/","title":{"rendered":"Aritmetica con gli ordinali"},"content":{"rendered":"

Abbiamo visto<\/a> come i numeri ordinali corrispondano a un insieme di numeri “messi in ordine”, a differenza dei numeri cardinali che dell’ordine non si curano e sono quelli che usiamo di solito: se ho cinque caramelle in genere non mi interessa sapere qual \u00e8 la prima, a meno che io non voglia iniziare con quella che mi piace di pi\u00f9. Finch\u00e9 ci limitiamo ai numeri finiti non ci sono grandi differenze; quando per\u00f2 si passa all’infinito non si sa mai cosa possa capitare, e il fatto che il pi\u00f9 piccolo ordinale transfinito, ω, abbia un nome diverso dal pi\u00f9 piccolo cardinale transfinito, ℵ0<\/sub> d\u00e0 qualche sospetto. E in effetti…<\/p>\n

Sappiamo che possiamo rappresentare un numero ordinale come un insieme ordinato, e che c’\u00e8 un ordinamento canonico che viene associato. L’ordinale standard per 5 \u00e8 cos\u00ec (1,2,3,4,5), mentre quello per ω \u00e8 dato da (1,2,3,4,…). Attenzione, per\u00f2: (1,2,3,4,5), (5,4,3,2,1), (42, 314, 1, π, “pippo”) sono in realt\u00e0 lo stesso numero ordinale. Non importa infatti quali etichette vengono associate agli elementi dell’insieme; ci\u00f2 che conta \u00e8 che ce n’\u00e8 uno che non ha nessun elemento alla sua sinistra, un altro che ne ha uno, un altro ancora che ne ha due, e cos\u00ec via. Andiamo ora avanti a definire le operazioni aritmetiche standard.<\/p>\n

La definizione di somma di due ordinali \u00e8 la loro giustapposizione, il che sembrerebbe ovvio. Proviamo allora a sommare 1+5: se scriviamo i numeri in forma canonica abbiamo (1) e (1,2,3,4,5) che non \u00e8 bello perch\u00e9 ci sarebbero due numeri uguali nell’insieme somma, e non sappiamo bene che farci. Per semplicit\u00e0 user\u00f2 un carattere diverso, e avremo cos\u00ec (1<\/i>) e (1<\/b>,2<\/b>,3<\/b>,4<\/b>,5<\/b>) che danno (1<\/i>,1<\/b>,2<\/b>,3<\/b>,4<\/b>,5<\/b>) che possiamo riscrivere come (1,2,3,4,5,6), cio\u00e8 6. Non ci credevate, vero? Ripeto, nel caso di numeri finiti non c’\u00e8 nulla di strano, e tutta questa storia sembra un’inutile complicazione. <\/p>\n

\"omega*omega\"<\/a>
visualizzazione grafica di ω·ω (da Wikipedia)<\/figcaption><\/figure>Passiamo ora a sommare 1+ω; otterremo (1<\/i>,1<\/b>,2<\/b>,3<\/b>,4<\/b>,…) che riscritto in maniera canonica \u00e8 evidentemente ancora ω. Anche qui nulla di strano, per noi che siamo ormai abituati all’aritmetica dei numeri transfiniti. Proviamo per\u00f2 a sommare ω+1. No, non \u00e8 la stessa cosa di prima; nessuno ci assicura che valga la propriet\u00e0 commutativa dell’addizione, che cio\u00e8 a+b=b+a<\/i> come capita nella nostra aritmetica usuale. La somma \u00e8 (1<\/b>,2<\/b>,3<\/b>,4<\/b>,…,1<\/i>); il secondo 1, quello scritto in corsivo, appartiene a una classe di numeri diversa dagli altri, visto che non ha nessun predecessore: ricordatevi che non esiste il “numero infinito”! Abbiamo scoperto due cose: che nella somma di ordinali infiniti non vale la propriet\u00e0 commutativa dell’addizione e che c’\u00e8 un nuovo numero ordinale, ω+1, la cui cardinalit\u00e0 \u00e8 ℵ0<\/sub> proprio come ω. Beh, ce ne saranno almeno infiniti altri, visto che ω+2, ω+3, …, ω+ω, ω+ω+1, … sono tutti diversi.<\/p>\n

Ma \u00e8 ora di passare alla moltiplicazione. Il prodotto di due ordinali \u00e8 l’insieme formato dalle coppie<\/i> (ordinate) di un elemento del primo e uno del secondo insieme. Cos\u00ec 2·3, cio\u00e8 (1,2)·(1,2,3), \u00e8 dato da ((1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(3,2)), che tanto per cambiare vale 6. Forse avete gi\u00e0 capito come va a finire; se calcoliamo 2·ω otteniamo ((1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),…) che \u00e8 sempre ω, ma se calcoliamo ω·2 otteniamo ((1,1),(2,1),(3,1),…,(1,2),(2,2),(3,2),…) che \u00e8 tutta un’altra roba, ed equivale a ω+ω; “due volte infinito”, che naturalmente ha sempre ℵ0<\/sub> come cardinalit\u00e0 ma \u00e8 per\u00f2 diverso come numero ordinale. Vi risparmio tutte le definizioni di moltiplicazione sinistra e destra e cose del genere; se proprio volete vedere cosa succede, come sempre Wikipedia<\/a> \u00e8 la vostra amica. I disegnini che vedete qui nel testo arrivano da l\u00e0, tra l’altro.<\/p>\n

\"omega^omega\"<\/a>
visualizzazione grafica di ωω<\/sup> (da Wikipedia)<\/figcaption><\/figure>Come ω+ω d\u00e0 ω·2, possiamo anche pensare all’esponenziale; ω·ω d\u00e0 ω2<\/sup>. Si pu\u00f2 proseguire, arrivare a ω3<\/sup>, ω4<\/sup>, …, ωω<\/sup>, un ordinale piuttosto grande la cui cardinalit\u00e0 \u00e8… ℵ0<\/sub>. Se ci pensate su, non \u00e8 poi cos\u00ec difficile crederlo. \u00c8 un po’ come la storia dell’albergo di Hilbert; gli infiniti bus che arrivano ciascuno con infiniti passeggeri corrispondono a ω2<\/sup>, ma anche se ci fosse un infinito numero di caratteristiche diverse il Bravo Direttore d’Albergo potr\u00e0 comunque trovare un buon ordinamento e assegnare a ciascuno degli ospiti una stanza tutta per lui, fregandosi le mani per i soldi guadagnati. <\/p>\n

Nessuno ci obbliga a fermarci qua, ovvio; acendo una torre infinita di potenze ω, ωω<\/sup>, ω(ωω<\/sup>)<\/sup>, … si arriva a un nuovo numero ordinale, denominato ε0<\/sub>. S\u00ec, proprio epsilon, la lettera greca che in genere indica un numero piccolo a piacere. Ma in effetti ε0<\/sub> \u00e8 il pi\u00f9 piccolo numero che non pu\u00f2 essere costruito a partire da ω con un numero finito di operazioni di addizione, moltiplicazione ed esponenziazione; oppure se preferite la pi\u00f9 piccola soluzione dell’equazione k<\/i> = ωk<\/i><\/sup> – un’altra di quelle cose che con i numeri cardinali non erano possibili, visto che la cardinalit\u00e0 di 2k<\/i><\/sup> \u00e8 sempre strettamente maggiore di quella di k<\/i>. ε0<\/sub> \u00e8 anche importante perch\u00e9 \u00e8 il primo ordinale che… Chi \u00e8 stato laggi\u00f9 in fondo a dire “che ha la cardinalit\u00e0 del continuo?” Beh, ha sbagliato. Anche ε0<\/sub> ha cardinalit\u00e0 ℵ0<\/sub>. Esistono ordinali di cardinalit\u00e0 diversa, come ω1<\/sub> che \u00e8 formato dall’unione di tutti<\/b> gli ordinali di cardinalit\u00e0 ℵ0<\/sub>, ma che io sappia non si usano molto, anche perch\u00e9 nessuno saprebbe come fare un buon ordinamento di questo insieme. L’importanza di ε0<\/sub> sta nel fatto che non si pu\u00f2 applicare il metodo d’induzione (transfinita, per la precisione) per arrivarci; ne escono fuori conseguenze interessanti come il teorema di Goodstein che \u00e8 un esempio pratico del teorema di indecibilit\u00e0 di G\u00f6del.<\/p>\n

Certo che parlare di “esempio pratico” \u00e8 probabilmente una presa in giro; nulla di quanto scritto ha un qualsivoglia uso nella vita di tutti i giorni. Cantor svilupp\u00f2 la teoria degli ordinali per avere una grana un po’ pi\u00f9 fine quando si tratta con gli insiemi infiniti; gli ordinali hanno il loro spazio nella teoria dei giochi (intesi come “plays”, non “games”) ma anche in questo caso effetti pratici ce ne sono pochi. \u00c8 per\u00f2 interessante accorgersi che spesso \u00e8 possibile fare generalizzazioni (nel nostro caso dal finito all’infinito, mediante cardinali e ordinali) completamente diverse ed entrambe valide. La matematica permette anche una certa libert\u00e0, insomma.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Finch\u00e9 ci si limita a valori finiti, i numeri ordinali non sembrano poi cos\u00ec diversi dai cardinali. Non appena si giunge all’infinito, per\u00f2, le cose cambiano di colpo, e anzi gli ordinali sono ancora pi\u00f9 sconcertanti dei cardinali. <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2322","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Bs","jetpack-related-posts":[{"id":2275,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/06\/10\/ci-sono-infiniti-piu-infiniti\/","url_meta":{"origin":2322,"position":0},"title":"Ci sono infiniti “pi\u00f9 infiniti”!","author":".mau.","date":"10\/06\/2010","format":false,"excerpt":"Il metodo diagonale di Cantor mostra che ci sono diversi tipi di infiniti, e ne costruisce esplicitamente uno, se si ha una pazienza infinita. 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