{"id":2320,"date":"2010-08-21T02:30:23","date_gmt":"2010-08-21T00:30:23","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2320"},"modified":"2022-10-10T18:41:08","modified_gmt":"2022-10-10T16:41:08","slug":"risposte-ai-problemini-ferragostani","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/08\/21\/risposte-ai-problemini-ferragostani\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemini ferragostani"},"content":{"rendered":"

Lo so, avete gi\u00e0 risolto tutti da un pezzo i problemini matematici ferragostani<\/a>. Ma per completezza oggi vi trovate le soluzioni “ufficiali”, cos\u00ec potete commentare anche queste.<\/p>\n


\n1. Questione di altezze<\/b>
\n\"\"<\/a>
\nIn un triangolo rettangolo due delle tre altezze coincidono con i cateti. Quindi il problema si riduce a costruire un triangolo rettangolo per cui l’altezza h<\/i> relativa all’ipotenusa sia la met\u00e0 dell’ipotenusa stessa c<\/i>.
\nMa \u00e8 noto – e se non lo fosse basta considerare che i triangoli ACB, DBC e ADC sono simili – che l’altezza \u00e8 il medio proporzionale dei due segmenti in cui essa divide l’ipotenusa; quindi otteniamo che la divide in realt\u00e0 a met\u00e0. Il nostro triangolo pertanto non \u00e8 solo rettangolo ma anche isoscele, e l’angolo pi\u00f9 piccolo – anzi i due<\/b> angoli pi\u00f9 piccoli, essendo uguali – misura 45 gradi.
\nMeglio ancora, forse, accorgersi che in un quadrato le diagonali si dividono a met\u00e0; quindi il triangolo rettangolo isoscele ottenuto prendendo solo mezzo quadrato soddisfa le ipotesi.<\/p>\n

2. Derivata<\/b>
\nL’errore \u00e8 nel secondo passaggio. \u00c8 vero che generalmente la derivata della somma di pi\u00f9 funzioni \u00e8 uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni; ma in questo caso il numero di funzioni non \u00e8 fisso ma anch’esso variabile, quindi non si pu\u00f2 applicare quella regola.<\/p>\n

3. Osservazioni<\/b>
\nA prima vista si direbbe che non \u00e8 possibile sapere con certezza se c’\u00e8 una persona sposata che ne guarda una non sposata, perch\u00e9 non sappiamo nulla dello stato coniugale di Elena. Riguardando il problema con maggiore attenzione, per\u00f2, ci accorgiamo che ci sono due casi possibili: Elena \u00e8 sposata, oppure Elena non \u00e8 sposata. Nel primo caso, Elena che \u00e8 sposata guarda Paride che non \u00e8 sposato; nel secondo caso Menelao che \u00e8 sposato guarda Elena che non \u00e8 sposata. Quindi possiamo dire che una persona sposata ne guarda una non sposata, anche se non possiamo dire chi siano le due persone.
\nGli esperti dicono che questo problema di logica risulta particolarmente difficile perch\u00e9 noi evitiamo se possibile il ragionamento disgiuntivo completo<\/b> (quello indicato nella dimostrazione), perch\u00e9 pi\u00f9 pesante da calcolare, preferendo un ragionamento euristico – in questo caso valutare le due coppie lasciando come “sconosciuto” lo stato di Elena – che di solito funziona lo stesso ed \u00e8 molto pi\u00f9 veloce, ma in alcuni casi non ci d\u00e0 la risposta corretta.<\/p>\n

4. Centro di gravit\u00e0 permanente<\/b>
\nQuando la brocca \u00e8 vuota, abbiamo detto che il centro di gravit\u00e0 \u00e8 sopra il fondo, e quindi sopra il livello dell’acqua che non essendoci coincide col fondo stesso. Se riempissimo la brocca fino all’orlo, il centro di gravit\u00e0 sarebbe sotto il livello dell’acqua. Visto che versando l’acqua sia il centro di gravit\u00e0 che il livello dell’acqua si muovono in modo continuo, ci sar\u00e0 un momento in cui i due valori coincideranno. Ma sia prima che dopo quel momento il centro di gravit\u00e0 era pi\u00f9 alto, perch\u00e9 prima c’era dell’aria nella sezione tra il pelo dell’acqua e il centro di gravit\u00e0, e dopo abbiamo aggiunto dell’acqua sopra il centro di gravit\u00e0. <\/p>\n

5. Fermat alla rovescia<\/b>
\nPer quanto riguarda l’equazione di “Fermat alla rovescia” na<\/sup> + nb<\/sup> = nc<\/sup><\/i>, se n<\/i> = 2 ci sono le infinite soluzioni in cui a=b=c-1, come per esempio 25<\/sup> + 25<\/sup> = 26<\/sup><\/i>. Nel caso n<\/i> ≥ 3, il modo pi\u00f9 semplice per vedere che non ci sono soluzioni \u00e8 scrivere na<\/sup><\/i> e nb<\/sup><\/i> in base n<\/i>; saranno pertanto della forma 1000…000, con rispettivamente a<\/i> e b<\/i> 0 nell’espressione. Ora, se li sommiamo otterremo un numero della forma 1000…0001000…000 se a≠b<\/i> e 20000….000 se a=b<\/i>; in ogni caso, la risposta non \u00e8 una potenza di n<\/i>.
\n(A quanto ne so, questo problema \u00e8 stato proposto da Douglas Hofstadter in G\u00f6del, Escher, Bach<\/i>)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

spero non siate stati troppo in pensiero per le soluzioni ai problemini della scorsa settimana!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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