{"id":2312,"date":"2010-08-11T02:30:44","date_gmt":"2010-08-11T00:30:44","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2312"},"modified":"2022-10-10T17:43:29","modified_gmt":"2022-10-10T15:43:29","slug":"la-serie-armonica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/08\/11\/la-serie-armonica\/","title":{"rendered":"La serie armonica"},"content":{"rendered":"

Eccovi due problemi a prima vista assolutamente scorrelati, ma che hanno fondamentalmente la stessa soluzione – nulla di strano in matematica, che \u00e8 la scienza del riciclo dei concetti. Riuscite a vedere la somiglianza?<\/p>\n

Nel primo problema si ha un mazzo infinito di carte (perfette, come sempre in questi problemi…), e si chiede qual \u00e8 l’aggetto massimo che si possa avere, senza che le carte crollino miseramente. Per spiegarmi meglio, se avessimo solo due carte si pu\u00f2 mettere quella in alto in modo che il suo baricentro sia esattamente sul bordo della inferiore; l’aggetto \u00e8 pertanto di met\u00e0 carta. Se abbiamo una terza carta sotto, possiamo mettere l’insieme delle prime due carte in modo che il loro<\/i> baricentro sia esattamente sul bordo della terza carta: otteniamo cos\u00ec un aggetto totale di tre quarti di carta.<\/p>\n

Il secondo problema vede una formica puntiforme che si muove lungo una barra, partendo dall’esterno. La barra \u00e8 lunga un metro; in un secondo la formica percorre un centimetro, e alla fine di quel secondo la barra si allunga uniformemente di un altro metro, spostando quindi in avanti anche la formica che ora si trova a 198 centimetri dalla fine della barra. A ogni secondo capita lo stesso; la formica percorre un centimetro, e la barra si allunga uniformemente di un metro, spostando con s\u00e9 la formica. Potr\u00e0 mai la formica raggiungere la fine della barra? Se volete provare a risolvere i problemi, smettete di leggere adesso e fate un po’ di conti.<\/p>\n

In entrambi i casi la risposta \u00e8 controintuitiva: l’aggetto pu\u00f2 crescere a piacere, e la formica raggiunger\u00e0 la fine della barra. Il tutto almeno in teoria. Per quanto riguarda il mazzo di carte, abbiamo visto che con due carte l’aggetto \u00e8 1\/2 e con tre si somma 1\/4; la quarta carta pu\u00f2 contribuire per 1\/6, la quinta per 1\/8, e cos\u00ec via. Nel problema della barra, immaginiamo di cambiare scala ogni volta, per tornare alla lunghezza iniziale della barra; chiaramente la formica percorrer\u00e0 una distanza minore. Dopo il primo allungamento con cambio di scala, nel minuto successivo la formica si muover\u00e0 quindi di mezzo centimetro; in quello ancora successivo (la barra \u00e8 ora lunga tre metri) percorrer\u00e0 1\/3 di centimetro, e continuer\u00e0 cos\u00ec con 1\/4, 1\/5 e via camminando.<\/p>\n

Entrambi gli esempi – per amor di precisione, il primo a meno di un fattore 2 – rappresentano la serie armonica<\/b>, vale a dire la somma infinita<\/p>\n

1 + 1\/2 + 1\/3 + 1\/4 + 1\/5 + 1\/6 + …<\/p><\/blockquote>\n

Credo che la serie prenda il nome dal fatto che i vari termini corrispondono alle lunghezze relative delle corde che suonano gli armonici di una nota, o almeno Wikipedia<\/a> dice cos\u00ec. Come vedete, i termini della somma diventano sempre pi\u00f9 piccoli e tendono a zero. Per\u00f2 ci tendono troppo lentamente, e quindi la somma ce la fa a crescere oltre ogni limite. Mostrarlo \u00e8 piuttosto semplice; raggruppiamo i termini in questo modo.<\/p>\n

1 + 1\/2 + (1\/3 + 1\/4) + (1\/5 + 1\/6 + 1\/7 + 1\/8) + (1\/9 + … + 1\/16) + …<\/p><\/blockquote>\n

\"\"<\/a>
La serie armonica maggiorata da 1\/x<\/figcaption><\/figure>\n

All’interno di ogni parentesi sostituiamo tutti i numeri con il pi\u00f9 piccolo del gruppo. Abbiamo pertanto nella prima parentesi (1\/4 + 1\/4) = 1\/2, nella seconda quattro addendi 1\/8 la cui somma \u00e8 di nuovo 1\/2, nella terza otto addendi 1\/16 e quindi ancora 1\/2… Adesso \u00e8 immediato vedere che la somma \u00e8 infinita. Se avete studiato un po’ di analisi matematica, potete anche fare una stima un po’ pi\u00f9 precisa delle somme parziali della serie: come vedete nella figura qui sopra, la somma si pu\u00f2 approssimare bene con la funzione 1\/x. Questo significa che la somma dei primi n<\/i> termini della serie \u00e8 maggiore dell’integrale tra 1 e n<\/i> della funzione 1\/x<\/i>, vale a dire log(n<\/i>). Non solo questo ci conferma che la somma va all’infinito, ma ci d\u00e0 anche un’idea di come ci fa. In effetti avremmo potuto spostare di un’unit\u00e0 a destra i rettangolini e ricavare che la somma \u00e8 minore di log(n<\/i>)+1. Fu il solito Eulero a scoprire che la differenza tra la somma dei primi n<\/i> termini della serie armonica e il logaritmo (naturale, mi raccomando! Non quello in base 10 che si impara al liceo!) di n<\/i> tende a una costante, indicata con la lettera γ e nota come costante di Eulero-Mascheroni<\/b>. Per i curiosi, γ vale circa 0,5772156649; non penso valga per\u00f2 la pensa di giocarsi questi numeri al lotto.<\/p>\n

Il logaritmo \u00e8 una funzione che va all’infinito mooooolto lentamente, pi\u00f9 lentamente di una qualunque funzione x<\/i>α<\/sup> per α > 0. Ci\u00f2 significa che nei nostri problemi iniziali non bisogna affatto avere fretta; con un mazzo di 52 carte si pu\u00f2 avere un aggetto massimo teorico di poco pi\u00f9 di due carte, e un secondo mazzo aggiunge un terzo di carta. La nostra formica arriver\u00e0 s\u00ec alla fine della barra, me le ci vorranno pi\u00f9 di 1043<\/sup> secondi. Formica longeva, ma si sa che le formiche puntiformi hanno caratteristiche peculiari.<\/p>\n

Resta solo lo spazio per aggiungere che basta variare di pochissimo i parametri perch\u00e9 la serie risultante abbia una somma finita. Se per esempio si prendono i numeri 1\/n<\/i>s<\/i><\/sup> con s<\/i> > 1 la somma converge, per la cronaca al valore ζ(s) della zeta di Riemann; la somma degli inversi dei quadrati degli interi, come aveva gi\u00e0 dimostrato… Eulero (gli piaceva cos\u00ec tanto lavorare sulle serie infinite), \u00e8 al esempio π2<\/sup>\/6. Anche la somma degli inversi dei numeri che non contengono una delle dieci cifre \u00e8 finita; il valore varia da 16.17696 circa nel caso si omettano tutti i numeri contenenti la cifra 1 a 23.10344 circa nel caso si ometta lo zero, che come ben si sa vale di meno. Queste successioni si chiamano successioni di Kempner<\/a>, dal nome del primo che ne ha parlato, pur non essendo riuscito a stimarne la somma. Con il progresso matematico non solo si sono ottenuti questi valori, ma nel 2008 T. Schmelzer, e R. Baillie hanno dimostrato che la somma degli inversi di tutti i numeri che non contengono all’interno una stringa definita, per esempio 31415926, \u00e8 comunque finita, e sono riusciti anche a dare una formula per stimare questo valore. Per me la cosa \u00e8 incredibile, non so per voi.<\/p>\n

In compenso non ci crederete: ma la somma degli inversi dei numeri primi<\/em>, che pur essendo infiniti non sono poi “cos\u00ec tanti”, \u00e8 infinita. La somma cresce ancora pi\u00f9 lentamente, visto che \u00e8 dell’ordine di log log n<\/i>; ma \u00e8 pur sempre una funzione che va all’infinito. Basta non avere troppa fretta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Molte successioni hanno una somma infinita, altre hanno una somma finita. La serie armonica va s\u00ec all’infinito, ma cos\u00ec piano che uno magari non se ne accorge nemmeno.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2312","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-Bi","jetpack-related-posts":[{"id":2580,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/03\/27\/ricondursi-al-caso-precedente\/","url_meta":{"origin":2312,"position":0},"title":"Ricondursi al caso precedente","author":".mau.","date":"27\/03\/2013","format":false,"excerpt":"Quella del titolo \u00e8 una frase tipica da matematico e fa spesso divertire chi matematico non \u00e8, per\u00f2 \u00e8 uno strumento molto potente quando lo si sa usare.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2450,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/16\/esercizi-o-problemi\/","url_meta":{"origin":2312,"position":1},"title":"Esercizi o problemi?","author":".mau.","date":"16\/09\/2011","format":false,"excerpt":"Sappiamo che non esiste una via regia per la matematica, e che bisogna mettersi a faticare per ottenere dei risultati. Ma c'\u00e8 modo e modo di faticare: svolgere esercizi o risolvere problemi sono due attivit\u00e0 ben diverse.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":194,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/05\/gira-la-carta\/","url_meta":{"origin":2312,"position":2},"title":"Gira la carta","author":".mau.","date":"05\/09\/2011","format":false,"excerpt":"Una specie di gioco di prestigio matematico: l'asso galleggia sempre e si porta all'inizio del mazzetto di carte...","rel":"","context":"In \"combinatoria\"","block_context":{"text":"combinatoria","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/combinatoria\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":672,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/12\/03\/teoremi-e-probabilita\/","url_meta":{"origin":2312,"position":3},"title":"Teoremi e probabilit\u00e0","author":".mau.","date":"03\/12\/2015","format":false,"excerpt":"Sembrano due concetti agli antipodi, eppure si possono dimostrare alcuni teoremi con metodi probabilistici.","rel":"","context":"In \"dimostrazioni\"","block_context":{"text":"dimostrazioni","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/dimostrazioni\/"},"img":{"alt_text":"cerchi","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2015\/12\/cerchi-300x182.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2464,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/12\/09\/morra\/","url_meta":{"origin":2312,"position":4},"title":"Morra","author":".mau.","date":"09\/12\/2011","format":false,"excerpt":"Il gioco della morra, compresa la sua variante \"morra cinese\" che a dire il vero c'entra ben poco con l'originale, nasconde alcune interessanti considerazioni matematiche.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"regole della morra, con lucertola e Spock","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2011\/12\/morra.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2664,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/10\/29\/5-per-3-non-e-la-stessa-cosa-che-3-per-5-2\/","url_meta":{"origin":2312,"position":5},"title":"5 per 3 non \u00e8 la stessa cosa che 3 per 5?","author":".mau.","date":"29\/10\/2015","format":false,"excerpt":"Negli Stati Uniti dire che 5\u00d73 con le addizioni ripetute \u00e8 5+5+5 viene considerato errato, perch\u00e9 bisognava dire che \u00e8 3+3+3+3+3","rel":"","context":"In \"didattica\"","block_context":{"text":"didattica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/didattica\/"},"img":{"alt_text":"commoncore","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/commoncore.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2312","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2312"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2312\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2313,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2312\/revisions\/2313"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2312"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2312"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2312"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}