Questa volta ci avventuriamo nei meandri dell’analisi matematica; vedremo come la nostra intuizione non sia sempre cos\u00ec brava a intuire le cose. Il tema \u00e8 un po’ pi\u00f9 complicato di quanto scrivo di solito, ma garantisco che non ci sono dimostrazioni da seguire, e che il trucchetto usato \u00e8 molto interessante, oltre a essere utile anche per altre dimostrazioni sicuramente molto pi\u00f9 note. <\/p>\n
Il tutto parte dallo studio delle funzioni di variabile reale. Generalmente una funzione \u00e8 vista come una bella curva disegnata su un foglio di carta quadrettata dove sono stati aggiunti gli assi cartesiani; l’unica cosa a cui bisogna stare attenti \u00e8 che la curva “non torni mai indietro”, altrimenti ci sarebbe un numero per cui la funzione assume due valori, e Ci\u00f2 \u00e8 Male. Questa definizione va benissimo per gli esempi che ci capitano nella vita di tutti i giorni; se ad esempio disegniamo la funzione della velocit\u00e0 della nostra auto rispetto al tempo durante il percorso casa-ufficio, otterremo una di queste curve, dove spesso saremo fermi e a volte magari avremo una velocit\u00e0 negativa perch\u00e9 stavamo facendo manovra. Tale funzione ha una caratteristica fondamentale: possiamo essere certi che in un qualche momento abbiamo toccato la velocit\u00e0 compresa tra la minima e la massima che siamo riusciti a fare. In matematica questo fatto ha il nome pomposo di Teorema dei valori intermedi<\/a>, e viene insegnato all’inizio del corso di Analisi 1. <\/p>\n Il teorema funziona perch\u00e9 non \u00e8 ancora stato inventato il teletrasporto, e quindi la velocit\u00e0 \u00e8 una funzione continua<\/strong>. Anche se ti schianti di colpo contro un lampione – speriamo di no – non \u00e8 vero che passi in tempo zero dai 130 all’ora a velocit\u00e0 zero; ci metterai magari un decimo di secondo, il che significa che un decimillesimo di secondo dopo l’urto tu stai ancora viaggiando a quasi 130 all’ora. I matematici, essendo persone che amano vedere le cose da un altro punto di vista, si sono chiesti “Ma vale anche il viceversa?” Detto in termini rigorosi: se abbiamo una funzione f tale che presi due suoi punti a caso a<\/i> e b<\/i> sappiamo che nell’intervallo [a,b<\/i>] essa assume tutti i valori compresi tra f(a<\/i>) e f(b<\/i>), possiamo dire che f \u00e8 continua? La risposta putrtoppo, o per fortuna, \u00e8 no. John Conway ha trovato un bellissimo controesempio<\/a>; ora ve lo illustro, vediamo se vi accorgete da dove lui ha preso l’idea.<\/p>\n Conway costruisce una funzione dall’intervallo ]0,1[ (senza gli estremi, dunque) a valori in R in questo modo. Preso un numero qualunque, lo scrive in base 13. Anche se non lo si vede fatto spesso, non c’\u00e8 nessuna ragione perch\u00e9 i numeri in base diversa da 10 debbano essere interi; si pu\u00f2 tranquillamente proseguire dopo la virgola, con la regola classica per la divisione. L’unica cosa che ci occorre \u00e8 avere tredici cifre invece che dieci; Conway usa 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,v,m,p. Per evitare di avere due rappresentazioni dello stesso numero, come succede in base 10 dove 0,49999999… \u00e8 la stessa cosa che 0,5000000…, si decide di non usare le rappresentazioni che finiscono in ppppp… Conway guarda poi questi numeri, e chiama “ben formati” quelli con le seguenti caratteristiche:<\/p>\n Per esempio, 0,12m34pp1p2m34vv11111111111… non \u00e8 un numero ben formato (ci sono due v di fila), mentre 0,12m34pp1p2m34v11111111111… lo \u00e8. <\/p>\n Ora ci siamo: la funzione di Conway vale 0 per i punti che scritti in base 13 non sono ben formati. E per gli altri? Semplice. Si butta via la “parte prima ancora” indicata sopra, e si rilegge<\/b> la stringa restante sostituendo a m il simbolo “-“, a p il simbolo “+” e a v il simbolo “,”. Tanto sono solo simboli, no? Cos\u00ec il numero tredecimale 0,12m34pp1p2m34v11111111111… diventa prima m34v11111111111… e poi -34,11111111… Questo, letto come fosse un usuale numero decimale, \u00e8 il valore della funzione nel punto (tredecimale) 0,12m34pp1p2m34v11111111111… <\/p>\n \u00c8 impossibile disegnare questa funzione patologica: i suoi valori oscillano spazzando tutti i numeri reali in un qualunque intervallo piccolo a piacere. Ma questa \u00e8 proprio la nostra ipotesi del teorema inverso, e la funzione non \u00e8 continua; ecco dunque il controesempio cercato.<\/p>\n Il trucco per tirare fuori questa funzione \u00e8 naturalmente quello di leggere la stessa stringa di caratteri in due modi diversi; procedimento che venne usato per la prima volta nel 1931, come i pi\u00f9 attenti di voi avranno intuito. Per\u00f2 forse in questo caso la doppia lettura \u00e8 pi\u00f9 facile da capire. L’unica cosa che posso aggiungere \u00e8 che per un matematico l’idea di definire una funzione in questo modo \u00e8 semplicemente favolosa; se lo \u00e8 anche per voi, potete fregiarvi del titolo di “matematico dentro”!<\/p>\n\n