{"id":2301,"date":"2010-07-20T02:30:29","date_gmt":"2010-07-20T00:30:29","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2301"},"modified":"2022-10-10T16:57:00","modified_gmt":"2022-10-10T14:57:00","slug":"dal-paradosso-dellalabama-ai-deputati-frazionari","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/07\/20\/dal-paradosso-dellalabama-ai-deputati-frazionari\/","title":{"rendered":"Dal paradosso dell’Alabama ai deputati frazionari"},"content":{"rendered":"

Beh, in Italia ormai facciamo fatica a ricordarci quale sia il sistema elettorale del momento, e verrebbe quasi voglia di riprendere il duetto Enzo Jannacci-Paolo Rossi<\/a>: “si minore diminuito, si minore maggioritario; si minore proporzionale, si minore referendario!” Negli USA la cosa \u00e8 molto pi\u00f9 semplice: il Senato elegge due rappresentanti per stato, e il Congresso ha un numero di rappresentanti per stato proporzionale al numero di abitanti calcolato a ogni censimento. Ma \u00e8 poi tutto davvero cos\u00ec semplice? Non proprio.<\/p>\n

La Costituzione americana si limita a dire che “il numero di rappresentanti non deve eccedere uno per trentamila abitanti, ma ogni stato deve avere almeno un rappresentante”. Il limite dei 30.000 abitanti \u00e8 da un bel pezzo teorico, come potete bene immaginare: con 300 milioni di abitanti attualmente residenti, il Congresso dovrebbe avere 10000 parlamentari! Come racconta Alex Bogomolny nell’articolo<\/a> che ho usato come fonte, nel 1929 si decise di fissare il numero di rappresentanti a 435, e quindi limitarsi a spostare seggi da uno stato all’altro. Ma prima di allora vennero usati diversi metodi per ripartire i seggi, metodi che casualmente venivano caldeggiati dall’uno o dall’altro politico a seconda del loro tornaconto, e che facevano spesso cambiare il numero di seggi assegnati per cercare di accontentare tutti. Si andava dall’arrotondamento per difetto del numero di seggi (e gli stati piccoli si lamentavano, perch\u00e9 perdevano ancor pi\u00f9 potere relativo) all’arrotondamento per eccesso (e gli stati grandi si lamentavano, perch\u00e9 i piccoli ottenevano pi\u00f9 potere relativo) all’arrotondamento all’intero pi\u00f9 vicino (e almeno in questo caso nessuno poteva lamentarsi a priori, era la dura legge del caso). <\/p>\n

Alla fine si stabil\u00ec di usare quello che in fin dei conti sembrava il sistema pi\u00f9 logico; si iniziava ad allocare i seggi con una divisione intera della popolazione per il numero totale di posti da assegnare, e i seggi rimasti venivano assegnati agli stati con i resti pi\u00f9 alti – in percentuale, non in assoluto. Anche un ragazzino avrebbe convenuto che in fin dei conti la cosa era equa. O no? Dopo il censimento del 1880 C. W. Seaton, funzionario capo dell’ufficio del censimento, si mise a calcolare quanti seggi sarebbero stati assegnati ai vari stati se il Congresso ne avesse avuti un numero tra 275 e 350. Quello era un periodo in cui si tendeva a far crescere il numero di rappresentanti totale per evitare che qualche stato ne perdesse; anche senza i computer si poteva comunque perdere il tempo di fare qualche migliaio di divisioni. Successe per\u00f2 un fatto a prima vista incredibile; come spiega Wikipedia<\/a>, se si fosse deciso per un Congresso di 299 seggi l’Alabama ne avrebbe avuti 8, ma aumentando il numero di seggi a 300 l’Alabama ne avrebbe ottenuti solo sette<\/b>. Da qui il nome di paradosso dell’Alabama<\/b> dato a questa distribuzione.<\/p>\n

Com’era possibile? Facciamo un esempio numerico semplice, e vediamo cosa succede. Immaginiamo di avere tre stati con un totale di 100 cittadini; lo stato A e il B ne hanno 42 mentre il C ne ha solo 16. Vediamo come si suddividerebbero tra gli stati rispettivamente 15 e 16 seggi:<\/p>\n

\n\n\n\n\n\n\n
Stato<\/b><\/td>\nabitanti<\/b><\/td>\nseggi<\/b><\/td>\nseggi<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
A<\/td>\n42<\/td>\n6,3 → 6<\/b><\/td>\n6,72 → 7<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
B<\/td>\n42<\/td>\n6,3 → 6<\/b><\/td>\n6,72 → 7<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
C<\/td>\n16<\/td>\n2,4 → 3<\/b><\/td>\n2,56 → 2<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
totale<\/b><\/td>\n100<\/b><\/td>\n15<\/b><\/td>\n16<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/blockquote>\n

Dalla tabella si vede cosa succede in questo caso particolare; i due stati pi\u00f9 grandi, proprio perch\u00e9 hanno un quoziente pi\u00f9 grande, riescono a far crescere la parte frazionaria pi\u00f9 in fretta dello stato pi\u00f9 piccolo e cos\u00ec possono crescere entrambi di un seggio a scapito dell’altro. \u00c8 triste (per i cittadini dello stato C, intendo), ma \u00e8 cos\u00ec. Ma ci sono anche altre fregature: prendiamo ad esempio il paradosso della popolazione<\/b>. In questo caso abbiamo il numero di seggi prefissato, ma la popolazione complessiva che cresce. Bene, pu\u00f2 darsi che uno stato pi\u00f9 piccolo ma con una crescita proporzionale maggiore perda<\/b> seggi a favore di uno stato pi\u00f9 grande con una crescita minore. Ecco un esempio di questo paradosso (mi spiace che sia leggermente pi\u00f9 complicato, ma \u00e8 il primo che sono riuscito a trovare)<\/p>\n

\n\n\n\n\n\n\n
Stato<\/b><\/td>\nabitanti<\/b><\/td>\nseggi<\/b><\/td>\nabitanti<\/b><\/td>\nseggi<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
A<\/td>\n92<\/td>\n15,44 → 15<\/b><\/td>\n97<\/td>\n15,75 → 16<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
B<\/td>\n42<\/td>\n7,05 → 7<\/b><\/td>\n41<\/td>\n6,66 → 7<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
C<\/td>\n15<\/td>\n2,52 → 3<\/b><\/td>\n16<\/td>\n2,60 → 2<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
totale<\/b><\/td>\n149<\/b><\/td>\n25<\/b><\/td>\n154<\/b><\/td>\n25<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/blockquote>\n

Lo stato C \u00e8 cresciuto di 1\/15, cio\u00e8 del 6.6% abbondante, eppure ha perso un seggio a favore dello stato A che \u00e8 cresciuto dei 5\/97, cio\u00e8 di meno del 5.5%. Forse ancora peggio, lo stato B, che ha perso<\/b> cittadini, continua a mantenere i suoi sette rappresentanti.<\/p>\n

Esiste anche un terzo paradosso, quello del nuovo stato<\/b>; se si aggiunge un nuovo stato a parit\u00e0 di seggi totale pu\u00f2 capitare che uno degli altri stati ne ottenga un altro in pi\u00f9. Se volete divertirvi, la pagina citata in cima ha alcune applet Java che vi permettono di fare delle prove per conto vostro.<\/p>\n

Purtroppo non c’\u00e8 una soluzione univoca; un po’ come quanto capita con il Teorema di Arrow<\/a>, esiste un teorema dimostrato nel 1982 dai matematici Michel Balinski e Peyton Young che dimostra che ogni metodo di assegnazione dei resti risulta in un paradosso, se ci sono tre o pi\u00f9 stati (o partiti) in gioco. Come fare, allora? Beh, George Szpiro ha proposto<\/a> di inviare al congresso deputati frazionari. No, non bisogna tagliare loro parti del corpo, anche se so di molti elettori che apprezzerebbero la cosa: molto pi\u00f9 semplicemente, se per dire uno stato avrebbe diritto a 3,4 rappresentanti se ne inviano tre “con pieni poteri” e uno il cui voto vale solo 0,4. In questo modo la proporzionalit\u00e0 a livello statale sarebbe perfettamente rappresentata, e oggi come oggi non sarebbe affatto difficile contare elettronicamente il voto totale sommando tutti i decimali necessari. <\/p>\n

Io nel mio piccolo farei una proposta leggermente diversa: nell’ipotesi di cui sopra si inviano quattro rappresentanti, il voto di ciascuno dei quali vale 0,85. \u00c8 vero che distruggeremmo completamente l’associazione “un delegato, un voto”; per\u00f2 le differenze non sarebbero cos\u00ec ampie e nel caso di voto compatto a livello dei singoli stati non cambierebbe nulla rispetto a oggi. Purtroppo il metodo non \u00e8 applicabile ai singoli partiti nel parlamento italiano, come sono certo tutti sperate; ce ne sono troppi, e anche se \u00e8 vero che un rappresentante con 0,07 “voti equivalenti” non riuscirebbe probabilmente a far cadere un governo non avremmo comunque spazio sufficiente a Montecitorio per far sedere tutti i nostri onorevoli, e soprattutto dovremmo continuare a pagarli tutti come “interi”. Ancora una volta l’eleganza della trattazione matematica si scontra con la dura realt\u00e0.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Il metodo proporzionale sembra essere il pi\u00f9 equo per suddividere i deputati da eleggere; ma anche in questo caso sorgono dei paradossi.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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