{"id":2293,"date":"2010-07-05T12:24:46","date_gmt":"2010-07-05T10:24:46","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2293"},"modified":"2022-10-10T16:25:24","modified_gmt":"2022-10-10T14:25:24","slug":"perelman-poincare-e-millennium-prize","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/07\/05\/perelman-poincare-e-millennium-prize\/","title":{"rendered":"Perelman, Poincar\u00e9 e (Millennium) Prize"},"content":{"rendered":"

Grigorij Perelman ha rifiutato il premio del Clay Institute per avere risolto la congettura di Poincar\u00e9. Pi\u00f9 o meno \u00e8 questa la notizia raccontata dalla Stampa<\/a>, unico quotidiano italiano che si \u00e8 ancora interessato alla cosa, aggiungendo poi qualche dettaglio gossipparo sulla vita di Perelman che sembra voler confermare la diceria che se uno \u00e8 un matematico non ha tutte le rotelle a posto. Tanto per dire, se leggete l’articolo del New York Times<\/a> c’\u00e8 la notizia e poco pi\u00f9. Ma \u00e8 possibile capire qualcosa in pi\u00f9 senza spaccarsi la testa? Non so, per\u00f2 provo a semplificare al massimo la spiegazione dell’enunciato del teorema (sulla dimostrazione non metto becco: non saprei da dove partire…)<\/p>\n

Giusto come antipasto: i Millennium Problems del Clay Institute<\/a> sono sette “importanti problemi” della matematica (importanti almeno per quelli del Clay) a cui \u00e8 associato un premio di un milione di dollari elargito a chi riuscir\u00e0 a dimostrarli. Cent’anni prima David Hilbert aveva proposto i suoi 23 problemi, sempre con lo scopo di stimolare la ricerca matematica in quelle che a lui sembravano le linee pi\u00f9 interessanti; col ventunesimo secolo il numero di problemi si \u00e8 ridotto, e c’\u00e8 stato bisogno dello sponsor per definirli. Come cambiano i tempi!<\/p>\n

\"circuiti<\/a><\/p>\n

Henri Poincar\u00e9, probabilmente il pi\u00f9 grande matematico e fisico a cavallo tra il diciannovesimo e il ventesimo secolo, aveva formulato la congettura che ora prende il suo nome mentre cercava di catalogare le variet\u00e0 di dimensione 3. Una variet\u00e0 \u00e8 un qualcosa che se la guardi abbastanza da vicino assomiglia molto allo spazio ordinario; per fare un esempio semplice, la superficie di una sfera \u00e8 una 2-variet\u00e0 perch\u00e9 assomiglia localmente a un piano, come del resto (non) notiamo tutti i giorni vivendo sulla superficie terrestre. Ma anche la superficie di una ciambella (di un toro<\/em>, come lo chiamano i matematici) \u00e8 una 2-variet\u00e0: se noi fossimo un essere bidimensionale molto piccolo non potremmo mai accorgerci, guardando intorno a noi, se viviamo su un piano, sulla superficie di una sfera oppure su quella di un toro. Tra l’altro, come avete certo notato, sia la superficie della sfera che quella del toro sono all’interno di uno spazio a tre dimensioni: in genere una variet\u00e0 si trova sempre “immersa” in uno spazio pi\u00f9 grande. <\/p>\n

Poincar\u00e9 aveva trovato un modo per distinguere una sfera da un toro: nel primo caso, un qualunque circuito disegnato sulla superficie (come si vede a sinistra nell’immagine) pu\u00f2 essere “sgonfiato” fino a diventare un punto, mentre sul toro esistono dei circuiti (vedi a destra) che non possono mai essere sgonfiati. Pi\u00f9 in generale, per\u00f2, non \u00e8 facile capire se ci sono buchi o no; per la cronaca, una variet\u00e0 senza buchi si dice semplicemente connessa<\/em>. Alla fine, Poincar\u00e9 enunci\u00f2 una congettura, vale a dire un’affermazione che secondo lui era vera ma che non era in grado di dimostrare: <\/p>\n

Ogni 3-variet\u00e0 semplicemente connessa, senza bordi e compatta \u00e8 omeomorfa a una 3-sfera<\/p><\/blockquote>\n

Cos’\u00e8 un bordo dovrebbe essere intuitivo; per terminare la spiegazione dell’enunciato resta ancora da dire cosa significa omeomorfo<\/em> (fondamentalmente, che \u00e8 la stessa cosa a meno di bitorzoloni qua e l\u00e0) e compatto<\/em> (che una qualunque successione di punti non scappa dalla variet\u00e0 nemmeno all’infinito; se prendessimo un cerchio senza il centro non andrebbe bene perch\u00e9 potremmo avvicinarci sempre pi\u00f9 ad esso). Insomma, se una cosa assomiglia a una 3-sfera e ha alcune delle propriet\u00e0 di una 3-sfera allora \u00e8 una 3-sfera. Ricordatevi che una 3-sfera non \u00e8 una sfera, ma qualcosa che sta dentro uno spazio a quattro dimensioni! Se il nostro universo fosse tale che viaggiando abbastanza a lungo in una qualunque dimensione si tornasse al punto di partenza, allora sarebbe una 3-sfera in uno spazio quadridimensionale (o pentadimensionale se consideriamo anche il tempo).<\/p>\n

La cosa strana \u00e8 che la congettura \u00e8 stata generalizzata in un numero qualunque di dimensioni. No, non \u00e8 strano che un matematico tenda a generalizzare. Lo strano \u00e8 che in dimensione 1 e 2 la dimostrazione \u00e8 banale, in dimensioni maggiori di 4 \u00e8 stata dimostrata vera tra il 1960 (Stephen Smale) e il 1966 (M.H.A. Newman), e in dimensione 4 da Michael Freedman nel 1982, ma il caso 3 continuava ad eludere i tentativi di dimostrazione. In pratica, quando le dimensioni sono poche non c’\u00e8 spazio sufficiente per infilare dell’altro; quando sono tante c’\u00e8 cos\u00ec tanto “spazio” che si riesce sempre a passare oltre gli ostacoli senza troppa fatica, ma in 4 e soprattutto in 3 dimensioni bisogna trovare lo “stretto” percorso corretto. Sia Smale che Freedman tra l’altro vinsero la Fields Medal per le loro dimostrazioni, come del resto anche Perelman che per\u00f2 la rifiut\u00f2; insomma per la comunit\u00e0 matematica tutto questo \u00e8 davvero importante.<\/p>\n

La dimostrazione di Perelman, pubblicata tra il 2002 e il 2003, parte dal lavoro di Richard Hamilton che pens\u00f2 di applicare tecniche di fisica matematica (usate inizialmente per risolvere l’equazione del calore: non vi ricorda nulla<\/a>?) e sfrutta il flusso di Ricci, chiamato cos\u00ec dal nome del matematico italiano Gregorio Ricci-Curbastro (quello che aveva gi\u00e0 fatto i conti che sarebbero poi serviti ad Einstein per tirare fuori la teoria della relativit\u00e0 generale). La “dimostrazione” di Perelman \u00e8 pi\u00f9 che altro una “sketch of proof”, come dicevamo noi all’universit\u00e0; in questi anni ci sono stati vari gruppi di matematici che hanno riempito i salti logici, e adesso la comunit\u00e0 matematica ritiene che la dimostrazione sia completa. Solo che appunto il matematico russo non \u00e8 d’accordo su come si fa matematica oggi, e rifiuta sistematicamente i premi… In questo caso la spiegazione ufficiale \u00e8 che il comitato del premio avrebbe dovuto dividerlo tra lui e Hamilton, visto che la parte pi\u00f9 importante (a detta di Perelman, nessuno in realt\u00e0 ci crede) \u00e8 dell’americano.<\/p>\n

Chi volesse saperne di pi\u00f9 pu\u00f2 leggere uno di questi due libri divulgativi:L’Enigma di Poincar\u00e9<\/em><\/a> di George G. Szpiro e La congettura di Poincar\u00e9<\/em><\/a> di Donal O’Shea. Confesso di non averli nemmeno sfogliati; per quanto ne so, il primo \u00e8 pi\u00f9 gossipparo mentre il secondo entra pi\u00f9 nel merito del teorema. Aggiungo come curiosit\u00e0 che Grigorij non \u00e8 il primo matematico russo di nome Perelman; a met\u00e0 del secolo scorso Yakov Perelman scrisse alcuni libri (Algebra ricreativa<\/em>, Geometria ricreativa<\/em>) di problemi e giochi matematici, che sono stati tradotti nella collana Sfide Matematiche e di cui non dovreste far fatica a trovare in rete la traduzione spagnola. Io li ho trovati carini, e sicuramente pi\u00f9 facili da capirsi che la congettura di Poincar\u00e9!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un po’ di informazioni sulla congettura di Poincar\u00e9 e su cosa ha fatto Grigori Perelman per dimostrarla.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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