{"id":2291,"date":"2010-07-02T02:30:58","date_gmt":"2010-07-02T00:30:58","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2291"},"modified":"2022-10-10T16:24:37","modified_gmt":"2022-10-10T14:24:37","slug":"lipotesi-del-continuo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/07\/02\/lipotesi-del-continuo\/","title":{"rendered":"L’ipotesi del continuo"},"content":{"rendered":"

Abbiamo visto l’ultima volta<\/a> come Georg Cantor abbia scoperto che la cardinalit\u00e0 (il “numero”) dei reali sia maggiore di quella degli interi. Per la precisione lo dimostr\u00f2 per i numeri reali tra 0 e 1, ma \u00e8 abbastanza facile vedere come non \u00e8 che prendendo tutti i reali ce ne siano poi di pi\u00f9. Nel caso ve lo foste chiesti, i punti del piano, o se per questo di uno spazio con un numero qualunque di dimensioni, hanno sempre la cardinalit\u00e0 del continuo c<\/b>. Per\u00f2 vi potrebbe essere venuto un altro dubbio: perch\u00e9 tanta fatica a cercare una nuova lettera, andando fino a pescare dall’alfabeto ebraico, e affermare che la cardinalit\u00e0 degli interi \u00e8 ℵ0<\/sub>, e subito dopo cambiare notazione? Ottima domanda.<\/p>\n

Cantor era convintissimo che i reali avessero cardinalit\u00e0 ℵ1<\/sub>, fossero cio\u00e8 l’infinito “appena successivo” di quello dei numeri interi. Per\u00f2 era un matematico, e sapeva bene che un conto \u00e8 essere convinti di un fatto e un altro conto dimostrarlo. Cos\u00ec mise un simbolo per cos\u00ec dire “provvisorio” per indicare la cardnalit\u00e0 dei reali, e si accinse a mostrare come fosse in realt\u00e0 ℵ1<\/sub>. Peccato che non ci riusc\u00ec, nonostante tutti i suoi sforzi. N\u00e9 riusc\u00ec a trovare un insieme piu grande degli interi e pi\u00f9 piccolo dei reali, il che sarebbe comunque stata una risposta valida, anche se indubbiamente meno elegante.<\/p>\n

Il problema prese cos\u00ec il nome di ipotesi del continuo<\/b>, CH in breve dall’inglese “Continuum Hypothesis”; nella sua formulazione canonica dice appunto che non c’\u00e8 nessuna cardinalit\u00e0 strettamente compresa tra quella dei naturali e quella dei reali. Assumendo assieme ai soliti assiomi che caratterizzano i numeri anche l’assioma della scelta<\/b> (prima o poi parler\u00f2 anche di quello) possiamo scrivere 2ℵ0<\/sub><\/sup> = ℵ1<\/sub>. Esiste poi anche l’ipotesi generalizzata<\/i> del continuo (in breve, GCH), che afferma che per ogni n<\/i> si ha 2ℵn<\/i><\/sub><\/sup> = ℵn<\/i>+1<\/sub>, ma non mettiamo troppa carne al fuoco. <\/p>\n

Hilbert, che come forse ricorderete era rimasto estasiato dalla scoperta dei numeri transfiniti, era talmente interessato dalla cosa che pose la dimostrazione dell’ipotesi del continuo come il primo dei suoi ventitr\u00e9 problemi, e quindi furono in molti i matematici che sbatterono la testa contro il problema. Il primo che riusc\u00ec a tirare fuori un qualche risultato al riguardo fu Kurt G\u00f6del, quello del teorema di incompletezza; nel 1940 G\u00f6del dimostr\u00f2 che usando gli assiomi usuali nella teoria degli insiemi non si poteva dimostrare che l’ipotesi del continuo fosse falsa. Notate per favore il salto carpiato: non dice “\u00e8 vera”, non dice nemmeno “non \u00e8 falsa”, ma “non si pu\u00f2 dimostrare che sia falsa”. Se vi \u00e8 venuto mal di testa avete tutta la mia comprensione. Ad ogni modo G\u00f6del credeva che in effetti l’ipotesi del continuo fosse falsa e che gli assiomi che usiamo sono incompleti e cerc\u00f2 di trovare un sistema per affermare che i reali sono ℵ2<\/sub>, ma si ferm\u00f2 qua. Nel 1963 Paul Cohen complet\u00f2 la dimostrazione, se di dimostrazione si pu\u00f2 parlare, facendo vedere come non si pu\u00f2 nemmeno dimostrare che l’ipotesi sia vera. Insomma, sappiamo di non sapere; ma la situazione \u00e8 diversa da quella di Socrate, visto che questo non pu\u00f2 essere un punto di partenza. Tutto quello che possiamo dire \u00e8 che ci sono svariati modelli che trattano gli infiniti, e non abbiamo nessuna possibilit\u00e0 di sceglierne uno come “er mejo”.<\/p>\n

Come ultima chicca, ci sono alcuni di questi modelli che hanno al loro interno i cosiddetti cardinali inaccessibili<\/b>. Questi non sono alti prelati che non rispondono mai al telefono, ma numeri (infiniti) che non possono essere ricavati a partire dagli altri cardinali, e quindi devono essere postulati come assioma di fede. Chiss\u00e0 se Hilbert aveva pensato che anche nel paradiso dei matematici ci sarebbero state le schiere di angeli, arcangeli, cherubini e via discorrendo!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La teoria degli infiniti \u00e8 molto carina, almeno per un matematico; peccato che abbia dei buchi logici ineliminabili. Non \u00e8 nemmeno possibile sapere se esiste o no un infinito maggiore dei numeri interi ma minore dei numeri reali.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2291","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-AX","jetpack-related-posts":[{"id":2275,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/06\/10\/ci-sono-infiniti-piu-infiniti\/","url_meta":{"origin":2291,"position":0},"title":"Ci sono infiniti “pi\u00f9 infiniti”!","author":".mau.","date":"10\/06\/2010","format":false,"excerpt":"Il metodo diagonale di Cantor mostra che ci sono diversi tipi di infiniti, e ne costruisce esplicitamente uno, se si ha una pazienza infinita. 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