{"id":222,"date":"2014-04-27T03:00:03","date_gmt":"2014-04-27T01:00:03","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=222"},"modified":"2022-10-11T13:01:36","modified_gmt":"2022-10-11T11:01:36","slug":"risposte-ai-problemi-per-pasqua-2014","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/04\/27\/risposte-ai-problemi-per-pasqua-2014\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemi per Pasqua 2014"},"content":{"rendered":"

Ed ecco le risposte ai problemi della settimana scorsa<\/a>! <\/p>\n

1. Gauss Reloaded<\/b>
\nRicordate la formula della differenza di due quadrati, (a<\/i>\u00b2 − b<\/i>\u00b2) = (a<\/i>+b<\/i>\u00b2)(a<\/i>−b<\/i>)? Se l’applichiamo, otteniamo
\n (100+99)(100−99) + (98+97)(98−97) + (96+95)(96−95) + … + (2+1)(2−1)
\nTutte le differenze nelle parentesi valgono 1, quindi rimane semplicemente la somma dei numeri da 100 a 1 che, come il piccolo Gauss sapeva gi\u00e0, vale 5050.<\/p>\n

(Credo che sia la prima volta in cui sapere la formula della differenza di due quadrati abbia avuto una qualche utilit\u00e0)<\/p>\n

2. Un po’ d’ordine<\/b>
\nPensate all’insieme {1,2,3,4,5,6,7,8,9}: a un suo qualunque sottoinsieme non nullo corrisponde uno e un solo numero secondo le ipotesi. Pertanto la risposta \u00e8 29−1 = 511.<\/p>\n

(Lavorare contemporaneamente con tutti i numeri possibili e usare i teoremi combinatori aiuta parecchio)<\/p>\n

3. Due successioni<\/b>
\nLa prima successione \u00e8 π(n<\/i>), cio\u00e8 quanti sono i numeri primi inferiori o uguali al numero dato: quindi π(1)=0, π(2)=1, π(3)=f(4)=2, eccetera. Il primo termine che manca \u00e8 π(19)=8. La seconda successione \u00e8 data dal pi\u00f9 piccolo numero che ha esattamente n<\/i> divisori positivi. Il primo termine che manca \u00e8 f(13); essendo 13 primo, il risultato \u00e8 212<\/sup>=2048.<\/p>\n

(Per scoprire le successioni, probabilmente, il modo pi\u00f9 semplice \u00e8 nel primo caso vedere per che indici la successione cambia valore, e nel secondo caso quali sono gli indici corrispondenti alle potenze di due)<\/p>\n

4. Run for my life<\/b>
\nPer risolvere il problema senza fare troppi conti, immaginate di sdoppiarmi, e farmi andare in entrambe le direzioni. Il me stesso che va verso il treno raggiunge la fine del ponte insieme alla testa del treno, e mentre all’altro me stesso manca ancora 1\/7 di ponte; pertanto il treno percorrer\u00e0 tutto il ponte mentre io ne faccio un settimo, e dunque viaggia a sette volte la mia velocit\u00e0, vale a dire 140 Km\/h. (Scusate, ho ancora il fiatone, anzi un doppio fiatone)<\/p>\n

(calcolare il rapporto tra le velocit\u00e0 ci semplifica la vita, perch\u00e9 non \u00e8 pi\u00f9 necessario fare un complicato sistema di equazioni).<\/p>\n

5. Un’equazione diofantina<\/b>
\nLe scelte possibili per z<\/i> sono 26, cio\u00e8 quelle da 0 a 25. Il valore medio di 4z<\/i> tra tutti questi casi \u00e8 50, e per ogni valore superiore ce n’\u00e8 uno inferiore simmetrico rispetto a 50. Ma se in media x<\/i> + 2y<\/i> = 50, abbiamo 26 valori diversi per y<\/i> (sempre quelli da 0 a 25), che determinano in maniera univoca x<\/i>. Quindi il numero totale di solluzioni \u00e8 26×26 = 676.<\/p>\n

(Questo \u00e8 lo stesso ragionamento che si potrebbe fare per la somma dei numeri da 0 a 100, dove la media \u00e8 50 e quindi la somma \u00e8 50×101=5050. Ma forse il piccolo Gauss questo non l’avrebbe trovato).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Le risposte ai problemi di Pasqua 2014, tutte per voi<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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