{"id":2145,"date":"2022-03-08T13:04:39","date_gmt":"2022-03-08T12:04:39","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2145"},"modified":"2022-03-08T15:41:56","modified_gmt":"2022-03-08T14:41:56","slug":"come-semplificare-un-problema-matematico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2022\/03\/08\/come-semplificare-un-problema-matematico\/","title":{"rendered":"Come semplificare un problema matematico"},"content":{"rendered":"<p>Sto leggendo <a href=\"https:\/\/amzn.to\/3IRRkpL\"><i>The puzzler&#8217;s dilemma<\/i><\/a>. Tra i problemi che Derrick Niederman presenta che n&#8217;\u00e8 uno tratto dalla William Lowell Putnam Examination del 1978:<\/p>\n<blockquote><p>Scegliete 20 numeri dall&#8217;insieme {1, 4, 7, \u2026 97, 100}. Mostrate che ce ne devono essere due distinti la cui somma \u00e8 104.<\/p><\/blockquote>\n<p>Niederman passa a raccontare come risolvere il problema: se volete provarci da soli, smettete di leggere e prendete carta e penna. Sappiate per\u00f2 che secondo Niederman chi ha preparato il problema, in un raro momento di generosit\u00e0, ha lasciato un numero in pi\u00f9 nell&#8217;insieme: anche se ne scegliamo solo 19 \u00e8 sempre possibile trovarne due distinti la cui somma \u00e8 104. Il punto \u00e8 che secondo me la sua dimostrazione si pu\u00f2 semplificare, pur rimanendo con la stessa struttura, e penso che possa essere interessante vedere come si pu\u00f2 trattare un problema del genere.<\/p>\n<p><!--more--> Chi ha un po&#8217; di esperienza di questo tipo di problemi ha immediatamente pensato che la soluzione si otterr\u00e0 probabilmente per mezzo del <b>principio dei cassetti<\/b>. Se non ne avete mai sentito parlare, \u00e8 quello che afferma che se ho quattro cassetti e ci voglio mettere dentro cinque maglioni ci sar\u00e0 almeno un cassetto con due maglioni. Notate che non \u00e8 detto che tutti i cassetti debbano avere almeno un maglione: ma anche se ce l&#8217;avessero resterebbe sempre l&#8217;ultimo cassetto. E in effetti la dimostrazione si fa cos\u00ec. Ma quello che ho trovato interessante \u00e8 appunto semplificare il problema iniziale per arrivare pi\u00f9 in fretta alla soluzione.<\/p>\n<p>Come prima cosa, togliamo un&#8217;unit\u00e0 a tutti gli elementi dell&#8217;insieme. Una qualunque coppia avr\u00e0 dunque due unit\u00e0 in meno: il problema diventa dunque &#8220;Scegliete 20 numeri dall&#8217;insieme {0, 3, 6, \u2026 96, 99}. Mostrate che ce ne devono essere due distinti la cui somma \u00e8 102.&#8221; Ora tutti i numeri presenti sono multipli di tre; possiamo dunque dividerli per 3 e arrivare a &#8220;Scegliete 20 numeri dall&#8217;insieme {0, 1, 2, \u2026 32, 33}. Mostrate che ce ne devono essere due distinti la cui somma \u00e8 34.&#8221; A questo punto dovrebbe semplice accorgerci che possiamo usare il trucco del piccolo Gauss: mettendo da parte 0 e 17, possiamo accoppiare gli altri come {1,33}, {2,32}, &#8230; {16,18}. Abbiamo dunque sedici coppie da cui possiamo scegliere al massimo un elemento, altrimenti abbiamo una somma pari a 34, e due elementi spaiati. Il principio dei cassetti ci dice che al diciannovesimo elemento al massimo avremo per forza due numeri la cui somma \u00e8 34.<\/p>\n<p>C&#8217;\u00e8 una differenza nel risolvere il problema semplificato rispetto a quello originale? Tecnicamente no. Possiamo mettere da parte 1 e 52, unire assieme {4,100}, {7,97}, &#8230; {49,55}, e fare esattamente lo stesso ragionamento. Per\u00f2 &#8211; almeno dal mio punto di vista &#8211; la formulazione modificata \u00e8 pi\u00f9 facile da &#8220;vedere&#8221;. Se consideriamo il fatto che molti problemi matematici dati alle competizioni sono dei travestimenti di altri problemi, direi che imparare a vedere se e come si pu\u00f2 cambiare la formulazione di un problema paga spesso&#8230;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>A volte pu\u00f2 essere utile trovare un problema equivalente ma pi\u00f9 semplice da risolvere. Ecco un esempio pratico.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2145","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-yB","jetpack-related-posts":[{"id":2476,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/02\/08\/la-magia-delle-soluzioni\/","url_meta":{"origin":2145,"position":0},"title":"La magia delle soluzioni","author":".mau.","date":"08\/02\/2012","format":false,"excerpt":"Spesso la soluzione di un problema matematico sembra uscire come per magia da un cappello. 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