{"id":2015,"date":"2021-08-22T08:08:10","date_gmt":"2021-08-22T07:08:10","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2015"},"modified":"2021-09-08T14:55:55","modified_gmt":"2021-09-08T13:55:55","slug":"risposte-ai-problemini-per-ferragosto-2021","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2021\/08\/22\/risposte-ai-problemini-per-ferragosto-2021\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemini per Ferragosto 2021"},"content":{"rendered":"

Ed ecco le risposte ai problemini della scorsa settimana!<\/p>\n

Area uguale al perimetro<\/b><\/big>
\nSupponiamo che l’ipotenusa del triangolo sia a<\/i> e i suoi cateti b<\/i> e c<\/i>. Allora la sua area sar\u00e0 bc<\/i>\/2; uguagliandola ad a<\/i>+b<\/i>+c<\/i> otteniamo 2a<\/i>=bc<\/i>−2b<\/i>−2c<\/i>. Elevando al quadrato questa uguaglianza, e sostituendo ad a<\/i>² il suo valore b<\/i>²+c<\/i>², ricaviamo <\/p>\n

4b<\/i>\u00b2+4c<\/i>\u00b2=b<\/i>²c<\/i>\u00b2+4b<\/i>\u00b2+4c<\/i>\u00b2\u22124b<\/i>c<\/i>\u00b2\u22124b<\/i>\u00b2c<\/i>+8bc<\/i><\/p>\n

che dopo aver semplificato e diviso per bc<\/i> d\u00e0 <\/p>\n

bc<\/i>−4b<\/i>−4c<\/i>+8 = 0<\/p>\n

da cui c<\/i> = (4b<\/i>−8)\/(b<\/i>−4) = 4 + 8\/(b<\/i>−4).<\/p>\n

Le uniche radici intere positive di questa equazione si hanno per b<\/i> = 5, 6, 8, 12; le prime due danno la coppia (b<\/i>,c<\/i>) = (5,12) e (6,8), mentre le altre due sono simmetriche.
\n<\/p>\n

Area uguale al perimetro 2 <\/b><\/big><\/p>\n

Un trapezio rettangolo \u00e8 l’unione di un rettangolo e di un triangolo rettangolo, come si vede in figura qui sotto. Cominciando con i triangoli rettangoli pi\u00f9 piccoli, ci sono due casi possibili, sempre mostrati qui sotto. Nella figura di sinistra, il perimetro del trapezio \u00e8 2x<\/i>+12 e l’area 4x<\/i>+6, da cui x<\/i>=3 e l’area \u00e8 18; nella figura di destra, il perimetro \u00e8 sempre 2x<\/i>+12 ma l’area \u00e8 3x<\/i>+6, da cui x<\/i>=6 e l’area \u00e8 24. I triangoli rettangoli successivi hanno area almeno 24 (lati 6,8,10) e 30 (lati 5,12,13); pertanto l’area minore \u00e8 data dalla figura di sinistra, con un rettangolo di lati paralleli 3 e 6, lato verticale 4 e lato obliquo 5.
\n\"[i
\n<\/p>\n

Quadrato latino<\/b><\/big><\/p>\n

Le due soluzioni sono mostrate qui sotto: una \u00e8 quella con i cerchi colorati, l’altra quella con i quadrati colorati.
\n\"[quadrato
\n<\/p>\n

Quadrato latino 2<\/b><\/big><\/p>\n

L’unica soluzione \u00e8 mostrata qui sotto.
\n\"[quadrato
\n<\/p>\n

Griglia autoreferenziale<\/b><\/big><\/p>\n

La soluzione \u00e8 mostrata qui sotto.
\n\"[griglia
\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ed ecco le risposte ai problemini della scorsa settimana! Area uguale al perimetro Supponiamo che l’ipotenusa del triangolo sia a […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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