{"id":1997,"date":"2021-07-02T20:19:47","date_gmt":"2021-07-02T19:19:47","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1997"},"modified":"2021-07-05T14:15:45","modified_gmt":"2021-07-05T13:15:45","slug":"dimostrazione-geometrica-dellirrazionalita-di-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2021\/07\/02\/dimostrazione-geometrica-dellirrazionalita-di-2\/","title":{"rendered":"Dimostrazione geometrica dell’irrazionalit\u00e0 di √2"},"content":{"rendered":"

Una delle “dimostrazioni famose” in matematica \u00e8 sicuramente quella dell’irrazionalit\u00e0 della radice quadrata di 2, che ha distrutto la teoria pitagorica e forse anche Ippaso di Metaponto e ha dato una svolta a 90 gradi alla matematica greca, che ha deciso di non usare pi\u00f9 il concetto di numero come punto di partenza ma basarsi sulla geometria. <\/p>\n

La dimostrazione che si legge di solito parte immaginando per assurdo che √2 sia uguale a una frazione a<\/i>\/b<\/i>, con a<\/i> e b<\/i> interi positivi. Senza perdita di generalit\u00e0 possiamo anche supporre che a<\/i> e b<\/i> non abbiano fattori comuni, perch\u00e9 in caso contrario possiamo semplificare entrambi i valori. A questo punto, elevando al quadrato i due membri dell’uguaglianza, abbiamo che a<\/i>²\/b<\/i>²=2, cio\u00e8 a<\/i>²=2b<\/i>², da cui si vede che a<\/i>² \u00e8 pari. Poich\u00e9 il quadrato di un numero pari \u00e8 pari e il quadrato di un numero dispari \u00e8 dispari, otteniamo che a<\/i> \u00e8 anch’esso pari, e quindi possiamo scrivere a<\/i>=2c<\/i>. Sostituendo questo valore e semplificando, abbiamo 2c<\/i>²=b<\/i>², e per lo stesso ragionamento di prima vediamo che b<\/i> deve essere pari, assurdo perch\u00e9 non pu\u00f2 avere fattori in comune con a<\/i>.<\/p>\n

Tutto questo va benissimo, se non fosse per una piccola seccatura: questa dimostrazione non \u00e8 geometrica. Bene: ho scoperto nel libro Le fascinant nombre \u03c0<\/em> di Jean-Paul Delahaye una dimostrazione puramente geometrica, che potete vedere qui sotto.
\n\"\"<\/p>\n

Il quadrato ABCD<\/i> ha lato a<\/i> e diagonale b<\/i>, che supponiamo entrambi multipli di una lunghezza l<\/i>. Costruiamo la diagonale BD<\/i> e la bisettrice dell’angolo CBD<\/i> che incontra il lato CD<\/i> in E<\/i>; da E<\/i> tracciamo la perpendicolare a BD<\/i> che lo incontra in H<\/i>. <\/p>\n

I triangoli rettangoli BCE<\/i> e BHE<\/i> hanno gli angoli uguali e l’ipotenusa in comune, quindi sono congruenti, e pertanto CE<\/i>=EH<\/i>=c<\/i>. Il triangolo EHD<\/i> \u00e8 rettangolo per costruzione, ma \u00e8 anche isoscele (l’angolo in D<\/i> \u00e8 di 45 gradi), pertanto HD<\/i>=EH<\/i> e dunque c<\/i>=b<\/i>−a<\/i>. Ma EHD<\/i> \u00e8 simile a BAD<\/i>, dunque se definiamo d<\/i> il segmento DE<\/i>=a<\/i>−c<\/i> allora c<\/i> e d<\/i> sono lato e diagonale di un quadrato pi\u00f9 piccolo di quello con a<\/i> e b<\/i>, e sempre multipli della nostra lunghezza unitaria l<\/i>. Da qui possiamo ricominciare le nostre operazioni e ottenere coppie sempre pi\u00f9 piccole di numeri interi positivi fino a scendere sotto la lunghezza l<\/i>, il che \u00e8 assurdo. (Per la cronaca, questo tipo di dimostrazione si chiama “per discesa infinita” e piaceva tanto a Fermat…). <\/p>\n

Carino, no?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Se preferite giocare con le figure anzich\u00e9 coi numeri, eccovi qua un esempio.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_hide_featured_image":false,"_jetpack_featured_image_duplicate_dismissed":0,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-1997","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-wd","jetpack-related-posts":[{"id":398,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/07\/27\/il-teorema-di-pitagora\/","url_meta":{"origin":1997,"position":0},"title":"Il teorema di Pitagora","author":".mau.","date":"27\/07\/2010","format":false,"excerpt":"Il teorema pi\u00f9 famoso della geometria merita indubbiamente una trattazione a s\u00e9.","rel":"","context":"In \"geometria\"","block_context":{"text":"geometria","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/geometria\/"},"img":{"alt_text":"[la costruzione euclidea del teorema di Pitagora]","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/09\/pitagora-euclide.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2478,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/02\/13\/una-dimostrazione-errata-e-meglio-che-nessuna-dimostrazione\/","url_meta":{"origin":1997,"position":1},"title":"Una dimostrazione errata \u00e8 meglio che nessuna dimostrazione","author":".mau.","date":"13\/02\/2012","format":false,"excerpt":"Certo, in matematica una dimostrazione errata di per s\u00e9 non serve a nulla. Per\u00f2 pu\u00f2 essere un utile punto di partenza.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2614,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/06\/03\/matematica-per-analogie\/","url_meta":{"origin":1997,"position":2},"title":"Matematica per analogie","author":".mau.","date":"03\/06\/2013","format":false,"excerpt":"Non \u00e8 che i matematici predichino bene e razzolino male: il punto \u00e8 che loro sono inconsciamente abituati a distinguere la scoperta di una propriet\u00e0 dalla sua dimostrazione, ma si dimenticano di mostrare il momento della scoperta.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2584,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/03\/euclide-aritmetico\/","url_meta":{"origin":1997,"position":3},"title":"Euclide aritmetico","author":".mau.","date":"03\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Gli Elementi non parlano solo di geometria, ma anche di aritmetica; e anche qua brilla l'esposizione di Euclide.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2013\/04\/Euclids_algorithm_Book_VII_Proposition_2_3.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":388,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/09\/09\/induzione-alla-rovescia\/","url_meta":{"origin":1997,"position":4},"title":"Induzione alla rovescia","author":".mau.","date":"09\/09\/2014","format":false,"excerpt":"Chi ha mai detto che l'induzione pu\u00f2 solo andare in su?","rel":"","context":"In \"didattica\"","block_context":{"text":"didattica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/didattica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2456,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/11\/10\/media-aritmetica-e-geometrica\/","url_meta":{"origin":1997,"position":5},"title":"Media aritmetica e geometrica","author":".mau.","date":"10\/11\/2011","format":false,"excerpt":"Dimostrare che la media aritmetica \u00e8 sempre maggiore o uguale della media geometrica non \u00e8 difficile, ma farlo in maniera inventiva pu\u00f2 essere divertente.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2011\/11\/geom1.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]}],"jetpack_featured_media_url":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1997","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1997"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1997\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2005,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1997\/revisions\/2005"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1997"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1997"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1997"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}