{"id":199,"date":"2012-11-26T08:15:02","date_gmt":"2012-11-26T07:15:02","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=199"},"modified":"2022-10-11T11:12:04","modified_gmt":"2022-10-11T09:12:04","slug":"il-paradosso-di-braess","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/11\/26\/il-paradosso-di-braess\/","title":{"rendered":"Il paradosso di Braess"},"content":{"rendered":"

Come certo saprete tutti, ci sono due strade diverse per andare da Paperopoli a Topolinia: una passa per Catsville e l’altra per Dogsburg. Ogni mattina ci sono ben 4000 persone che prendono l’auto per andare da una citt\u00e0 all’altra; mentre i tratti Catsville-Topolinia e Paperopoli-Dogsburg sono abbastanza ampi perch\u00e9 il tempo di percorrenza sia sempre di 50 minuti, gli altri due tratti sono intasati, e percorrere ciascuno di essi richiede N\/100 minuti, dove N \u00e8 il numero di auto che impegna il tratto di strada. Ciascun automobilista sceglie naturalmente il percorso che per lui<\/i> \u00e8 il pi\u00f9 veloce: alla fine la situazione si \u00e8 stabilizzata, e i paperopolesi si dividono esattamente a met\u00e0, 2000 per strada. Il tempo complessivo per il viaggio \u00e8 quindi di 2000\/100 + 50 = 70 minuti per tutti.<\/p>\n

Catsville e Dogsburg sono per\u00f2 molto vicine, e cos\u00ec Filo Sganga ha convinto i sindaci delle due citt\u00e0 a costruire una nuova strada che le unisca direttamente. Il tempo di percorrenza della nuova strada sar\u00e0 di soli 5 minuti. Zio Paperone avrebbe voluto costruire lui la strada: ma scoprendo che la commissione era presieduta da Brigitta scapp\u00f2 a gambe levate, e l’appalto fu vinto da Rockerduck. Secondo voi, cosa \u00e8 successo dopo che la strada \u00e8 stata completata?<\/p>\n

\"[il<\/a><\/p>\n

Beh, \u00e8 semplice: tutti gli automobilisti si sono rimessi a fare i conti sui vari percorsi possibili e hanno scoperto che conveniva loro passare per la nuova strada. Per compiere il percorso Paperopoli-Catsville-Dogsburg occorrono infatti al pi\u00f9 4000\/100 + 5 minuti, cio\u00e8 45 minuti, mentre la strada diretta Paperopoli-Dogsburg ne richiede 50. Ma allora, se tutti fanno quella strada, il tempo totale per compiere il percorso sar\u00e0 4000\/100 + 5 + 4000\/100 minuti, cio\u00e8 85 minuti; insomma, nonostante (anzi, proprio a causa!) della nuova strada. Segue una sollevazione popolare, e Rockerduck \u00e8 costretto a distruggere la strada… e mangiarsi il solito cappello.<\/p>\n

Vabb\u00e8, immagino che Giorgio Cavazzano non mi disegner\u00e0 mai una storia basandosi su questa trama: peccato. Per\u00f2 la matematica dietro questo racconto \u00e8 tutta vera, e ha anche un nome: paradosso di Braess<\/b>, dal nome del matematico tedesco Dietrich Braess che lo discusse per primo. Per capire come funziona effettivamente, occorre per\u00f2 dare alcune spiegazioni, cosa che mi accingo a fare. Innanzitutto, qui entriamo nel campo della teoria dei giochi<\/b>, una branca che sta a met\u00e0 tra la matematica e l’economia e che permette anche a qualche matematico di vincere il premio Nobel – anche se poi non \u00e8 un vero Nobel visto che quello per l’economia \u00e8 “il Premio della Banca di Svezia per le scienze economiche in memoria di Alfred Nobel”. I “giochi” trattati dalla teoria non sono scacchi, bridge o poker, ma interazioni tra due o pi\u00f9 partecipanti che cercano di ottenere il massimo vantaggio da questa interazione; in genere i giochi studiati sono dei modelli molto semplificati di quello che succede nel mondo reale, e da qui si capisce perch\u00e9 c’\u00e8 di mezzo l’economia e anche perch\u00e9 dalle teorie alla pratica c’\u00e8 un abisso. Spesso, come capita anche nell’esempio che ho fatto, i giochi sono classificati come non cooperativi<\/b>: ogni giocatore cerca di massimizzare il suo guadagno, incurante di cosa succeda agli altri. Un po’ insomma come quando si dice che uno ammazzerebbe sua nonna pur di guadagnare qualche soldo in pi\u00f9…<\/p>\n

Nei giochi non cooperativi esistono una o pi\u00f9 strategie particolari, chiamate equilibri di Nash<\/b> (quello di A Beatutiful Mind<\/i>, per intenderci): sono quelle per cui ciascuno dei giocatori non ha alcuna utilit\u00e0 a fare qualcosa di diverso, se gli altri continuano a fare le stesse cose, perch\u00e9 ci perderebbe. Gli equilibri di Nash sono molto importanti, per l’ottima ragione che rispecchiano bene quel che succede in pratica, come sa benissimo chiunque abbia frequentato un’autostrada italiana e no nei momenti di traffico intenso. Nel nostro caso iniziale, l’equa suddivisione dei pendolari \u00e8 un equilibrio di Nash: se qualcuno cambiasse percorso, il suo tempo di viaggio totale aumenterebbe perch\u00e9 la parte variabile sarebbe percorsa in 2001\/100 minuti invece che 2000\/100. Il guaio \u00e8 che anche dopo avere aperto la strada Catsville-Dogsburg la suddivisione “tutti a fare il percorso PCDT” \u00e8 un equilibrio di Nash, come ho esplicitamente spiegato nel racconto. La soluzione pi\u00f9 intelligente per i pendolari sarebbe quella di ignorare la nuova strada e continuare a percorrere le vecchie… ma una soluzione di questo tipo sarebbe cooperativa e quindi non pu\u00f2 essere applicata in pratica. Infatti chiunque penserebbe “ma perch\u00e9 devo essere cos\u00ec stupido? se uso la nuova strada in effetti rallento un po’ tutti gli altri, ma io ci guadagno di gran lunga!” <\/p>\n

Ci sono altri casi in cui il comportamento egoista alla lunga porta alla disfatta; un esempio che viene spesso fatto \u00e8 quello delle vaccinazioni. Un vaccino ha sempre una sia pur piccola probabilit\u00e0 di complicazioni, e quindi se una singola persona decide di non vaccinare il proprio figlio il bimbo ha un indubbio vantaggio, perch\u00e9 se tutti gli altri sono vaccinati la malattia non pu\u00f2 comunque riuscire a diventare un’epidemia. Per\u00f2 se cominciano a essere in tanti a fare questo “intelligente” ragionamento allora la malattia pu\u00f2 diffondersi, e ci perdono tutti. Il caso del paradosso di Braess \u00e8 per\u00f2 ancora pi\u00f9 impressionante, visto che qui si direbbe che si siano semplicemente ampliate le scelte e non sembrerebbe che gli automobilisti operino contro gli altri.<\/p>\n

La cosa ancora pi\u00f9 interessante \u00e8 che, almeno a detta di Wikipedia<\/a>, ci sono stati casi specifici, sia nel caso del traffico stradale che in altri campi come la distribuzione della corrente elettrica, dove il paradosso \u00e8 stato visto all’opera. Si possono trarre tante conclusioni, allora: un marxiano potrebbe rimarcare che il libero mercato non \u00e8 che poi sia sempre una panacea, mentre un ambientalista potrebbe avere nuove frecce al suo arco per lottare contro la costruzione di una nuova autostrada. Io mi limito a far notare come la matematica, almeno ogni tanto, possa contribuire a far scovare qualcosa che a prima vista non era cos\u00ec chiaro. Buttatela via…<\/p>\n

Addendum<\/strong>: Mattia Monga mi segnala via Twitter questo articolo di Ivar Peterson<\/a> che mostra un esempio “meccanico” del paradosso di Braess. Per chi non mastica troppo l’inglese, se si taglia il filo che tiene insieme il sistema di molle a sinistra, il peso si alza e non si abbassa. Chi ha una mente pi\u00f9 pratica probabilmente riesce ad accorgersi facilmente del motivo: le due molle prima sono in parallelo e poi in serie… <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Aggiungere nuove connessioni a una rete in certi casi pu\u00f2 portare a peggiorare le sue prestazioni. Sembra incredibile, ma \u00e8 una conseguenza matematica dell’ipotesi che ognuno sia egoista.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[24,37],"class_list":["post-199","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-paradossi","tag-teoria-dei-giochi"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-3d","jetpack-related-posts":[{"id":580,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/06\/19\/maturita-2015-luci-e-ombre\/","url_meta":{"origin":199,"position":0},"title":"Maturit\u00e0 2015, luci e ombre","author":".mau.","date":"19\/06\/2015","format":false,"excerpt":"Ottima l'idea di avere un esempio pratico, meno buona quella di un quesito \"facile\" troppo generico","rel":"","context":"In \"dematematizzazione\"","block_context":{"text":"dematematizzazione","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/dematematizzazione\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2446,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/10\/21\/numeri-altamente-composti\/","url_meta":{"origin":199,"position":1},"title":"Numeri altamente composti","author":".mau.","date":"21\/10\/2011","format":false,"excerpt":"Basta con le divisioni che non terminano mai! 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