C’\u00e8 una cosa che non ho mai capito: perch\u00e9 per decidere quale dei due giocatori deve iniziare a giocare a Monopoli, Risiko o simili entrambi lancino un dado, e chi ottiene il risultato pi\u00f9 alto vince. Il problema non \u00e8 lanciare il dado, il che dovrebbe in effetti dare un risultato casuale: ma capita spesso – in teoria una volta su sei, in pratica Murphy mostra che la probabilit\u00e0 \u00e8 maggiore – che i due giocatori ottengano lo stesso risultato e quindi bisogna fare un nuovo lancio. <\/p>\n
Non potete fare testa o croce perch\u00e9 in tasca avete solo carte di credito? O non lo volete fare perch\u00e9 se quello \u00e8 un gioco coi dadi bisogna usare per forza un dado? Nema problema! Vi do subito una soluzione possibile: uno dei giocatori lancia il dado: se \u00e8 pari inizia lui, se \u00e8 dispari l’altro. Certo, si rompe la simmetria: e magari qualcuno si lamenter\u00e0 perch\u00e9 gli \u00e8 stato negato il diritto costituzionale di lanciare un dado. Per fortuna la matematica ci insegna a costruire dei dadi assolutamente equi, per cui cio\u00e8 valgano le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n
1. Non sia possibile pareggiare<\/em>
\n 2. Ogni dado ha la stessa possibilit\u00e0 di vincere<\/em><\/p><\/blockquote>\nE se siamo bravi, possiamo riuscirci anche se i giocatori sono tre o quattro.<\/p>\n
Immagino che conveniate con me: il caso di un singolo giocatore non \u00e8 molto interessante. Partiamo allora con due giocatori. Il punto 1 delle richieste qui sopra ci dice che i numeri presenti nei due dadi devono essere tutti diversi: per semplificarci la vita, diciamo che sono quelli da 1 a 12. Una configurazione possibile che rispetti il punto 2 \u00e8 abbastanza semplice da trovare: i due dadi possono avere come valori<\/p>\n
1 3 5 8 10 12
\n 2 4 6 7 9 11<\/tt><\/p><\/blockquote>\nPotrei mettermi a elencare tutte e trentasei le combinazioni e mostrare chi vince in ciascun caso; ma forse avete capito qual \u00e8 il trucco che ho usato. Non ho suddiviso i numeri a caso, ma ho preparato le sei coppie (1,2), (3,4), (5,6), (7,8), (9,10), (11,12), e ho suddiviso tra i due dadi i valori della coppia, facendo in modo che ciascuno ne avesse tre maggiori e tre minori.<\/p>\n
(Noticina: se siete stati attenti dovreste essere gi\u00e0 pronti a dire che non \u00e8 vero che i dadi debbano essere numerati da 1 a 12. Per esempio si potrebbero usare i valori (1,1,1,4,6,6) e (2,2,2,3,5,5); solo che comunque non si pu\u00f2 usare un dado standard e quindi tanto vale avere tutti valori distinti. Al pi\u00f9, se proprio si vuole risparmiare e si accetta di avere valori non interi, il secondo dado pu\u00f2 avere valori (0.5,1.5,2.5,4.5,5.5,6.5). Ma allora si potrebbero usare due dadi normali e dire “in caso di parit\u00e0, se il valore \u00e8 4, 5 oppure 6 vince il primo giocatore, altrimenti il secondo”. Avete perfettamente ragione: ma ora vi mettete voi a spiegare la regola ai due giocatori? Fidatevi, meglio costruirsi due dadi apposta, ci sono meno discussioni)<\/p>\n
Passiamo a tre giocatori e tre dadi: stavolta i valori sui dadi saranno da 1 a 18, se li vogliamo tutti diversi. Per trovare una soluzione, c’\u00e8 un semplice metodo: immaginate che ogni dado abbia solo i numeri 1, 2 e 3, ciascuno presente due volte. In questo modo avremo sei terne di valori nell’insieme {1,2,3}, e visto che esistono esattamente sei permutazioni di quell’insieme abbiamo direttamente il risultato voluto. Qui sotto vedete a sinistra le permutazioni e a destra i dadi con i numeri da 1 a 18; i dadi corrispondono avviamente alle righe orizzontali.<\/p>\n
1 2 3 1 2 3 1, 5, 9, 10, 14, 18<\/tt>
\n 2 3 1 3 1 2 2, 6, 7, 12, 13, 17<\/tt>
\n 3 1 2 2 3 1 3, 4, 8, 11, 15, 16<\/tt><\/p><\/blockquote>\n\u00cb facile dimostrare che quei tre dadi rispettano la propriet\u00e0 2. Come nel caso di due dadi, immaginate che in piccolo ci siano i valori ausiliari da 1 a 6 a fianco di quelli indicati. Per simmetria, se i valori ausiliari sono diversi non c’\u00e8 problema; se sono uguali, per costruzione le permutazioni sono assolutamente eque.<\/p>\n
Il guaio \u00e8 che se i giocatori sono quattro, sei facce per i dadi evidentemente non sono una quantit\u00e0 adatta per fare quattro dadi equi; mezzo dado non lo si lancia. Robert Ford ha per\u00f2 pensato “Semplice! Prendiamo dadi a dodici facce, cos\u00ec possiamo dividerlo per 2, per 3 e per 4” e siamo tutti felici. I dadi a dodecaedro sono ben noti a chi gioca ai giochi di ruolo; Eric Harshbarger ha cos\u00ec preso i risultati di Ford (non ci credo che ci abbia messo una settimana… a meno che il tempo gli sia servito per avere l’idea che ho spiegato sopra) e ha costruito<\/a> quattro dadi con i seguenti valori. <\/p>\n
1, 8, 11, 14, 19, 22, 27, 30, 35, 38, 41, 48<\/tt>
\n 2, 7, 10, 15, 18, 23, 26, 31, 34, 39, 42, 47<\/tt>
\n 3, 6, 12, 13, 17, 24, 25, 32, 36, 37, 43, 46<\/tt>
\n 4, 5, 9, 16, 20, 21, 28, 29, 33, 40, 44, 45<\/tt><\/p><\/blockquote>\nQuesti dadi hanno l’ulteriore propriet\u00e0 principale che scegliendone due, tre o quattro a caso ciascuno di essi ha la stessa probabilit\u00e0 di essere in una qualunque posizione relativa: quindi li si pu\u00f2 usare non solo per decidere chi vince, ma anche per stabilire un ordine tra i giocatori. A questo punto, a parte comprarsi i dadi, non vi resta che decidere se tutto questo vi serva o no… ma questo non \u00e8 un mio problema. N\u00e9 ho voglia di mettermi a cercare i valori di cinque dadi icosaedrici per giocare in cinque: la fregatura \u00e8 che tanto per tre persone non funzionerebbero, e l’altra fregatura \u00e8 che nessuno comunque me li costruirebbe…<\/p>\n