{"id":1875,"date":"2020-12-31T08:08:34","date_gmt":"2020-12-31T07:08:34","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1875"},"modified":"2020-12-16T22:04:51","modified_gmt":"2020-12-16T21:04:51","slug":"risposte-ai-problemini-per-natale-2020","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2020\/12\/31\/risposte-ai-problemini-per-natale-2020\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemini per Natale 2020"},"content":{"rendered":"<p>Ed eccoci qua con le risposte ai problemini. Alcuni erano facili, altri proprio no&#8230;<\/p>\n<p><strong>1. Generiamo il 2021<\/strong><\/p>\n<p>Ecco le soluzioni:<br \/>\n2021 = 12\u00d7(3\u00d74 + 5 + 6)\u00d77 + 89<br \/>\n2021 = (9\u00d78 + 7 + 6)\u00d75\u00d74 + 321<br \/>\n<!-- Per i numeri da 1 a 11111, l'unico che non pare essere costruibile in questo modo \u00e8 10958 con le cifre in ordine crescente (in ordine decrescente \u00e8 (9+8\u00d77\u00d765+4)\u00d73\u22122+1)\n\n<small>Tratto da <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/pdf\/1302.1479v5.pdf\">un paper di Inder Jeet Taneja<\/a><\/small>\n\n<strong>2. Le cifre dei quadrati<\/strong>\n\nNon ce n'\u00e8 nessuno! Infatti se un numero non \u00e8 multiplo di 3 non lo \u00e8 nemmeno il suo quadrato, e quindi la somma delle sue cifre non pu\u00f2 essere 21 che \u00e8 un multiplo di 3; se invece lo \u00e8 allora il suo quadrato \u00e8 un multiplo di 9, e dunque la somma delle sue cifre deve essere un multiplo di 9.\n<!-- Questo \u00e8 uno dei problemi che bisogna prendere dal verso giusto --><\/p>\n<p><small>Tratto da <a href=\"https:\/\/math.stackexchange.com\/a\/3709781\/89\">Math Stackexchange<\/a><\/small><\/p>\n<p><strong>3. Il potere del 7<\/strong><\/p>\n<p>L&#8217;ultima cifra di <i>a<\/i><sub>2021<\/sub> \u00e8 7. Per trovarla, basta calcolare l&#8217;ultima cifra di ogni potenza: ma visto che l&#8217;ultima cifra di una quinta potenza \u00e8 uguale all&#8217;ultima cifra del numero, in pratica basta guardare al cubo. Il cubo di 7 \u00e8 343, quindi l&#8217;ultima cifra di <i>a<\/i><sub>2<\/sub> \u00e8 3; il cubo di 3 \u00e8 27, quindi l&#8217;ultima cifra di <i>a<\/i><sub>3<\/sub> \u00e8 7. Le ultime cifre si alterneranno tra 3 e 7, e al passo 2021 avremo appunto un 7.<\/p>\n<p><small>Tratto da Judita Cofman, <i>What to Solve<\/i>? OUP 1990, pag. 23<\/small><br \/>\n<!-- S\u00ec, si poteva fare a mente... --><\/p>\n<p><strong>4. N\u00e9 somme n\u00e9 differenze<\/strong><\/p>\n<p>Definiamo [<i>k<\/i>] la classe dei resti di k modulo 2021. Il mio insieme contiene un numero da ciascuna delle classi [0], [1], [2], &#8230; [1009], [1010]. Per costruzione, n\u00e9 la somma n\u00e9 la differenza di due di questi numeri \u00e8 divisibile per 2021. Se ora prendiamo un altro numero qualunque, o \u00e8 nella stessa classe di uno di quelli gi\u00e0 presenti, e allora la loro differenza \u00e8 divisibile per 2021; o \u00e8 in una classe diversa, e allora ci sar\u00e0 un elemento che sommato ad esso dar\u00e0 un numero multiplo di 2021. Quindi il mio insieme ha 1011 elementi.<\/p>\n<p><small>Tratto da Sandro Campigotto, <a href=\"https:\/\/amzn.to\/3fHaKyV\">I giochi matematici di PhiQuadro<\/a>, Scienza Express 2019, problema 6.7<\/small><br \/>\n<!-- Qui si usa il principio dei cassetti alla rovescia, in un certo senso. --><\/p>\n<p><strong>5. Cinque, sette, due<\/strong><\/p>\n<p>Sia <i>n<\/i> il numero iniziale, e <i>m<\/i>=5<i>n<\/i> quello finale. Chiaramente <i>m<\/i> termina per 5. Ora i casi sono due: o comincia per 7 o per 2. Calcoliamo ora <i>m<\/i>\/5, cio\u00e8 <i>n<\/i>. Se la prima cifra di <i>m<\/i> \u00e8 7, quella di <i>n<\/i> sar\u00e0 1 con resto di 2; da l\u00ec in poi ogni volta che c&#8217;\u00e8 un 7 avremo un risultato 5 con resto di 2, mentre quando c&#8217;\u00e8 un 2 avremo un risultato 4 con resto di 2. Infine il 5 finale dar\u00e0 un 5. In totale, pertanto, avremo 1 + 1009&middot;5 + 1010&middot;4 + 5 = 9091. Se invece la prima cifra di <i>m<\/i> \u00e8 2, all&#8217;inizio avremo comunque uno zero; poi il conto rimane lo stesso. Avremo pertanto 1010&middot;5 + 1009&middot;4 + 5 = 9091. In ogni caso la somma delle cifre di <i>n<\/i> \u00e8 9091.<\/p>\n<p><small>Tratto da Sandro Campigotto, <a href=\"https:\/\/amzn.to\/3fHaKyV\">I giochi matematici di PhiQuadro<\/a>, Scienza Express 2019, problema 6.12<\/small><br \/>\n<!-- \u00c8 sempre un po' straniante scoprire che casi diversi alla fine danno lo stesso risultato... --><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>e le cinque risposte<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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